Se A=(ai j)5 times 2 B=(bi j)5 times 2 são tais que ai j=2(i-j) e bi j=cli j & se i <= j i-3 & se i>j.Encontre:
B^t=(B^t é a matriz transposta de B);

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem duas matrizes, a matriz A e a matriz B, ambas de tamanho 5 times 2. Cada elemento dessas matrizes é definido de uma forma específica:
  • Para a matriz A, cada elemento aij é calculado por aij = 2(i - j).
  • Para a matriz B, cada elemento bij depende da posição:
    • Se i <= j, então bij = i cdot j.
    • Se i > j, então bij = i - 3.
Nosso objetivo aqui é encontrar a matriz transposta de B, que a gente representa por B^t. A matéria envolvida aqui é Álgebra Linear, especificamente a operação de transposição de matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a matriz transposta. A transposição de uma matriz é uma operação que troca as linhas pelas colunas. Ou seja, se a matriz original é de tamanho m times n, sua transposta será de tamanho n times m.
No nosso caso, a matriz B é 5 times 2, então sua transposta B^t será 2 times 5.

Passo 3

Agora, vamos construir a matriz B usando as regras dadas:
Para cada elemento bij:
  • Se i <= j, então bij = i cdot j.
  • Se i > j, então bij = i - 3.
Vamos preencher a matriz B passo a passo:
B = b11 & b12 b21 & b22 b31 & b32 b41 & b42 b51 & b52
Calculando cada elemento:
  • b11: i=1, j=1 Rightarrow 1 <= 1 Rightarrow 1 cdot 1 = 1
  • b12: i=1, j=2 Rightarrow 1 <= 2 Rightarrow 1 cdot 2 = 2
  • b21: i=2, j=1 Rightarrow 2 > 1 Rightarrow 2 - 3 = -1
  • b22: i=2, j=2 Rightarrow 2 <= 2 Rightarrow 2 cdot 2 = 4
  • b31: i=3, j=1 Rightarrow 3 > 1 Rightarrow 3 - 3 = 0
  • b32: i=3, j=2 Rightarrow 3 > 2 Rightarrow 3 - 3 = 0
  • b41: i=4, j=1 Rightarrow 4 > 1 Rightarrow 4 - 3 = 1
  • b42: i=4, j=2 Rightarrow 4 > 2 Rightarrow 4 - 3 = 1
  • b51: i=5, j=1 Rightarrow 5 > 1 Rightarrow 5 - 3 = 2
  • b52: i=5, j=2 Rightarrow 5 > 2 Rightarrow 5 - 3 = 2
Então, a matriz B fica:
B = 1 & 2 -1 & 4 0 & 0 1 & 1 2 & 2

Passo 4

Agora que temos a matriz B, vamos calcular sua transposta B^t. Como mencionado antes, isso significa trocar as linhas por colunas.
A matriz B original é 5 times 2, então sua transposta será 2 times 5. Vamos fazer essa troca:
B^t = b11 & b21 & b31 & b41 & b51 b12 & b22 & b32 & b42 & b52
Substituindo pelos valores que já calculamos:
B^t = 1 & -1 & 0 & 1 & 2 2 & 4 & 0 & 1 & 2

Resposta

A matriz transposta de B é:
B^t = 1 & -1 & 0 & 1 & 2 2 & 4 & 0 & 1 & 2

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