Usando o produto interno <p, q>=integral0^1 p(x) q(x) d x em P2(R), determinar o produto interno de:
a) p(x)=x e g(x)=1-x^2;
b) p(x)=x-12 e g(x)=-x.

Passo 1

O enunciado define o produto interno em P2(R) por
lang<= p,qrang<= = integral0^1 p(x),q(x),dx
e pede para calcular
(a) lang<= x,,1 - x^2rang<=
(b) lang<= x - tfrac12,,-xrang<=.
Vamos usar a linearidade da integral e as fórmulas de integração de potências de x.

Passo 2

Para a parte (a) escrevemos
lang<= x,,1 - x^2rang<= = integral0^1 x,(1 - x^2),dx = integral0^1 l(x - x^3r),dx
Calculamos separadamente
integral0^1 x,dx = x^22|0^1 = 12, integral0^1 x^3,dx = x^44|0^1 = 14
Portanto
lang<= x,,1 - x^2rang<= = 12 - 14 = 14

Passo 3

Para a parte (b) temos
lang<= x - tfrac12,,-xrang<= = integral0^1 l(x - tfrac12r),(-x),dx = -integral0^1 l(x^2 - tfracx2r),dx
Calculamos
integral0^1 x^2,dx = 13, integral0^1 x,dx = 12
Logo
-integral0^1 l(x^2 - tfracx2r),dx = -l(13 - 12cdot12r) = -l(13 - 14r) = -112

Resposta

(a) 14
(b) -112

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