Quais são as unidades de h, sabendo-se que ( h C_{p^{-1}} G^{-1} ) é adimensional?
\left(h C_{p^{-1}} G^{-1}\right)\left(C_{p} \mu k^{-1}\right)^{2 / 3}=0,23\left(D G \mu^{-1}\right)
em que C_{p} tem unidades \mathrm{Btu} /(\mathrm{lbm} \circ \mathrm{F}), \mu está em lbm/(h ft), k está em Btu/(h ft \left.\circ \mathrm{F}\right), D está em ft e G está em lbm/(h ft2).

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede, pegando os dados de unidades fornecidos.
  • O enunciado diz que o fator \left(h\,C_{p}^{-1}\,G^{-1}\right) é adimensional.
  • A equação fornecida é
\left(h\,C_{p}^{-1}\,G^{-1}\right)\left(C_{p}\,\mu\,k^{-1}\right)^{2/3}=0,23\left(D\,G\,\mu^{-1}\right).
  • Unidades dadas:
    • C_{p} tem unidades \dfrac{\mathrm{Btu}}{\mathrm{lbm}\;^\circ\mathrm{F}}.
    • \mu tem unidades \dfrac{\mathrm{lbm}}{\mathrm{h}\;\mathrm{ft}}.
    • k tem unidades \dfrac{\mathrm{Btu}}{\mathrm{h}\;\mathrm{ft}\;^\circ\mathrm{F}}.
    • D tem unidades \mathrm{ft}.
    • G tem unidades \dfrac{\mathrm{lbm}}{\mathrm{h}\;\mathrm{ft}^2}.
O pedido: determinar as unidades de h.

Passo 2

Para evitar confusão entre a variável procurada h e a unidade de tempo hora, eu escrevo a unidade hora como \mathrm{h} (em \mathrm{h} = hora) e continuo a variável desconhecida como h. A condição fornecida é que o produto h\,C_{p}^{-1}\,G^{-1} é adimensional, ou seja, as unidades desse produto são neutras.
Em termos de unidades, isso significa
[\;h\;]\cdot [C_{p}]^{-1}\cdot [G]^{-1} = 1,
onde [\cdot] denota “unidades de”.

Passo 3

Rearranjando a igualdade de unidades, obtemos
[\;h\;] = [C_{p}]\cdot [G].
Agora vou calcular o lado direito usando as unidades dadas.

Passo 4

Escrevendo explicitamente as unidades e simplificando fatores comuns:
[C_{p}]\cdot [G] = \left(\dfrac{\mathrm{Btu}}{\mathrm{lbm}\;^\circ\mathrm{F}}\right) \cdot \left(\dfrac{\mathrm{lbm}}{\mathrm{h}\;\mathrm{ft}^{2}}\right).
Aqui a unidade \mathrm{lbm} cancela entre numerador e denominador, sobrando
[C_{p}]\cdot [G] = \dfrac{\mathrm{Btu}}{\mathrm{h}\;\mathrm{ft}^{2}\;^\circ\mathrm{F}}.

Passo 5

Fazer uma checagem rápida de consistência usando a equação completa: calcular as unidades de \left(C_{p}\,\mu\,k^{-1}\right) e de D\,G\,\mu^{-1}.
  • Para \;C_{p}\,\mu\,k^{-1}\;:
[C_{p}\,\mu\,k^{-1}] = \left(\dfrac{\mathrm{Btu}}{\mathrm{lbm}\;^\circ\mathrm{F}}\right) \left(\dfrac{\mathrm{lbm}}{\mathrm{h}\;\mathrm{ft}}\right) \left(\dfrac{\mathrm{h}\;\mathrm{ft}\;^\circ\mathrm{F}}{\mathrm{Btu}}\right) = 1,
ou seja, é adimensional; portanto sua potência 2/3 também é adimensional.
  • Para D\,G\,\mu^{-1}:
[D\,G\,\mu^{-1}] = \mathrm{ft}\cdot\left(\dfrac{\mathrm{lbm}}{\mathrm{h}\;\mathrm{ft}^{2}}\right)\cdot\left(\dfrac{\mathrm{h}\;\mathrm{ft}}{\mathrm{lbm}}\right) = 1,
ou seja, também adimensional. Assim a equação completa é consistente com a condição inicial, e a unidade encontrada para h é compatível.

Passo 6

Portanto as unidades de h são aquelas calculadas no Passo 4.

Resposta

\displaystyle \frac{\mathrm{Btu}}{\mathrm{h}\,\mathrm{ft}^{2}\,^\circ\mathrm{F}}

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