A seguinte equação é dimensionalmente homogênea e consistente. Suponha que a composição C varia com o tempo t, da seguinte maneira:
C=0,03 e^{(-2,00 t)}
em que C tem unidade \mathrm{kg} / \mathrm{L} e t tem unidade s . Quais são as unidades associadas com 0,03 e 2,00?

Passo 1

O enunciado dá a expressão
C = 0,03\, e^{-2,00\, t},
com C em \mathrm{kg}/\mathrm{L} e t em \mathrm{s}. A pergunta é: quais são as unidades associadas a 0,03 e a 2,00?

Passo 2

Regra importante sobre exponenciais: a função exponencial e^{x} só é bem definida dimensionalmente se o argumento x for adimensional (sem unidade). Ou seja, dentro de e^{(\cdot)} só podem aparecer quantidades puramente numéricas. Isso vale para qualquer exponencial do tipo e^{\text{algo}}.

Passo 3

No nosso caso o argumento do exponencial é -2,00\, t. Por causa da regra do passo anterior, -2,00\, t deve ser adimensional. Se t tem unidade \mathrm{s}, então a unidade de 2,00 deve ser a inversa de \mathrm{s} para que o produto 2,00\cdot t seja sem unidade. Logo a unidade de 2,00 é \mathrm{s}^{-1}.
Escrevendo isso de forma explícita:
-2,00\, t \quad\text{é adimensional} \quad\Rightarrow\quad [2,00] = \mathrm{s}^{-1}.é
Aqui [2,00] indica a unidade do coeficiente numérico 2,00.

Passo 4

Agora, a expressão inteira para C é C = (\text{prefactor})\times e^{(\text{adimensional})}. Como e^{(\cdot)} é apenas um número adimensional, o prefactor deve ter exatamente as mesmas unidades de C. Portanto a unidade associada a 0,03 é a unidade de C, ou seja \mathrm{kg}/\mathrm{L}.
Podemos reescrever a expressão incluindo explicitamente as unidades para ficar claro:
C = \bigl(0,03\\ \mathrm{kg}/\mathrm{L}\bigr)\, e^{-2,00\\ \mathrm{s}^{-1}\, t}.
Interpretação física rápida: 2,00\\ \mathrm{s}^{-1} é uma constante de taxa (quanto maior, mais rápida a decaída) e 0,03\\ \mathrm{kg}/\mathrm{L} é a concentração inicial aproximada no instante t=0.

Resposta

0,03 tem unidade \mathrm{kg}/\mathrm{L}
2,00 tem unidade \mathrm{s}^{-1}

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