Quais são os valores do domínio da função real definida por
que produzem imagem igual a 3 ?
Passo 1
O enunciado dá a função real
e pede: quais valores do domínio (ou seja, quais valores de
) produzem imagem igual a
. Informações úteis extraídas do enunciado:
- A função é um polinômio quadrático com coeficientes
, , . - Queremos todos os
tais que a imagem seja igual a .
Passo 2
Estratégia para resolver: para achar os
que produzem imagem
, igualamos a função a
e resolvemos a equação resultante:
Isso transforma o problema em resolver uma equação quadrática. Vou explicar duas formas confiáveis de resolver uma equação quadrática: fatoração (quando possível) e a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática). Ambas dão o mesmo resultado; mostro as duas para você ver e aprender.
Passo 3
Primeiro simplificamos a equação subtraindo
dos dois lados:
Agora tentamos fatorar. Procuramos dois números cujo produto seja
(termo constante) e cuja soma seja
(coeficiente do termo linear). Esses números são
e
, porque
Portanto a expressão fatora como
Igualando a zero:
Pela propriedade do produto nulo, temos duas possibilidades:
portanto
Passo 4
Confirmação com a fórmula de Bhaskara (para praticar a técnica e mostrar que dá o mesmo resultado). Para a equação
a fórmula é
onde
,
,
. Calculando o discriminante:
Logo
que dá
e
, exatamente os mesmos valores.
Passo 5
Pequena verificação substituindo na função para ficar tranquilo:
Ambos realmente produzem imagem
.