Quais são os valores do domínio da função real definida por f(x)=x^{2}-5 x+9 que produzem imagem igual a 3 ?

Passo 1

O enunciado dá a função real
f(x)=x^{2}-5x+9
e pede: quais valores do domínio (ou seja, quais valores de x) produzem imagem igual a 3. Informações úteis extraídas do enunciado:
  • A função é um polinômio quadrático com coeficientes a=1, b=-5, c=9.
  • Queremos todos os x\in\mathbb{R} tais que a imagem f(x) seja igual a 3.

Passo 2

Estratégia para resolver: para achar os x que produzem imagem 3, igualamos a função a 3 e resolvemos a equação resultante:
f(x)=3 \quad\Longrightarrow\quad x^{2}-5x+9=3.
Isso transforma o problema em resolver uma equação quadrática. Vou explicar duas formas confiáveis de resolver uma equação quadrática: fatoração (quando possível) e a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática). Ambas dão o mesmo resultado; mostro as duas para você ver e aprender.

Passo 3

Primeiro simplificamos a equação subtraindo 3 dos dois lados:
x^{2}-5x+9-3=0 \quad\Longrightarrow\quad x^{2}-5x+6=0.
Agora tentamos fatorar. Procuramos dois números cujo produto seja 6 (termo constante) e cuja soma seja -5 (coeficiente do termo linear). Esses números são -2 e -3, porque
(-2)\cdot(-3)=6 \quad\text{e}\quad (-2)+(-3)=-5.
Portanto a expressão fatora como
x^{2}-5x+6=(x-2)(x-3).
Igualando a zero:
(x-2)(x-3)=0.
Pela propriedade do produto nulo, temos duas possibilidades:
x-2=0 \quad\text{ou}\quad x-3=0,
portanto
x=2 \quad\text{ou}\quad x=3.

Passo 4

Confirmação com a fórmula de Bhaskara (para praticar a técnica e mostrar que dá o mesmo resultado). Para a equação
x^{2}-5x+6=0,
a fórmula é
x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a},
onde a=1, b=-5, c=6. Calculando o discriminante:
\Delta=b^{2}-4ac=(-5)^{2}-4\cdot1\cdot6=25-24=1.
Logo
x=\frac{-(-5)\pm\sqrt{1}}{2\cdot1}=\frac{5\pm1}{2},
que dá x=\dfrac{5+1}{2}=3 e x=\dfrac{5-1}{2}=2, exatamente os mesmos valores.

Passo 5

Pequena verificação substituindo na função para ficar tranquilo:
f(2)=2^{2}-5\cdot2+9=4-10+9=3,
f(3)=3^{2}-5\cdot3+9=9-15+9=3.
Ambos realmente produzem imagem 3.

Resposta

x=2
x=3

Exercícios relacionados