Quais são as vantagens e desvantagens do método da Secante?

Passo 1

O enunciado pede para identificarmos as principais vantagens e desvantagens do método da Secante, que é um algoritmo iterativo para encontrar raízes de uma função f(x) sem usar a derivada de f. Vamos lembrar que ele gera uma reta que passa por \bigl(x_{n-1},f(x_{n-1})\bigr) e \bigl(x_n,f(x_n)\bigr) e define
x_{n+1} \;=\; x_n \;-\;\frac{f(x_n)\,(x_n - x_{n-1})}{f(x_n)-f(x_{n-1})}\,.
O conteúdo envolve convergência de métodos de raiz e custo computacional.

Passo 2

Vantagens do método da Secante
  • Não requer o cálculo de f'(x), ao contrário do método de Newton, bastam avaliações de f(x).
  • Convergência super-linear de ordem \varphi\approx 1,618, ou seja, maior que métodos lineares simples como a bisseção.
  • Cada iteração costuma ser mais barata que a de Newton, pois avalia apenas f duas vezes em vez de f e f'.
  • Em muitos casos, converge mais rápido que a bisseção e economiza computação em problemas onde f' é caro ou inexistente.

Passo 3

Desvantagens do método da Secante
  • Não há garantia de convergência global: se as aproximações iniciais não estiverem perto da raiz, pode divergir ou oscilar.
  • A ordem de convergência ( \approx1,618) é menor que a quadrática do método de Newton ( 2), então pode requerer mais iterações para alta precisão.
  • Depende de dois palpites iniciais e pode falhar se f(x_n)-f(x_{n-1}) ficar muito pequeno (divisão quase por zero).
  • Não mantém em geral o intervalo fechado contendo a raiz, ao contrário da bisseção, o que pode dificultar o controle de erro.

Resposta

Vantagens
  • Não usa derivada de f.
  • Convergência super-linear de ordem \approx1,618.
  • Iterações mais baratas que Newton.
  • Geralmente mais rápido que bisseção quando converge.
Desvantagens
  • Convergência não garantida sem bons palpites iniciais.
  • Ordem menor que a quadrática de Newton.
  • Risco de divisão por zero se f(x_n)\approx f(x_{n-1}).
  • Não preserva intervalo de confiança como a bisseção.

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