Quais são as vantagens e desvantagens do método de Newton?
Passo 1
O enunciado pede para discutir as vantagens e desvantagens do método de Newton (ou Newton–Raphson) para encontrar raízes de uma função
. Esse método iterativo usa a fórmula
e envolve conceitos de convergência de métodos numéricos, custo computacional de cada iteração e requisitos sobre a derivada
.
Passo 2
Vantagens do método de Newton
- Convergência quadrática local: uma vez suficientemente próximo da raiz, o erro decresce aproximadamente como o quadrado do erro anterior, ou seja,
. - Poucas iterações para alta precisão: devido à convergência quadrática, costuma alcançar muitas casas decimais em poucas iterações.
- Eficiência computacional por iteração: cada passo requer apenas avaliar
e no ponto atual, sem somatórios nem integrais. - Generalização para sistemas não lineares: existe a versão matricial de Newton, que estende o método a
.
Passo 3
Desvantagens do método de Newton
- Necessidade de derivada: exige que
seja conhecida e fácil de calcular; em funções complicadas, esse cálculo pode ser custoso ou impreciso. - Convergência apenas local: se o chute inicial
não estiver próximo da raiz ou se for pequeno, a iteração pode divergir ou oscilar sem convergir. - Sensibilidade ao ponto inicial: más escolhas de
podem levar a raízes indesejadas, ciclos ou estancamento quando . - Problemas em pontos singulares ou mal condicionados: quando
se anula ou varia muito, o método pode ter desempenho instável ou divergir rapidamente.
Resposta
Vantagens:
- Convergência quadrática local;
- Alta precisão em poucas iterações;
- Cada iteração é relativamente barata;
- Extensível a sistemas de equações.
Desvantagens:
- Requer o cálculo de
; - Converge apenas se o chute inicial estiver perto da raiz;
- Muito sensível à escolha de
e a zeros de ; - Pode falhar ou divergir em funções mal condicionadas.