Quais são as vantagens e desvantagens do método de Newton?

Passo 1

O enunciado pede para discutir as vantagens e desvantagens do método de Newton (ou Newton–Raphson) para encontrar raízes de uma função f(x). Esse método iterativo usa a fórmula
x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}
e envolve conceitos de convergência de métodos numéricos, custo computacional de cada iteração e requisitos sobre a derivada f'(x).

Passo 2

Vantagens do método de Newton
  • Convergência quadrática local: uma vez suficientemente próximo da raiz, o erro decresce aproximadamente como o quadrado do erro anterior, ou seja, e_{n+1}\approx C\,e_n^2.
  • Poucas iterações para alta precisão: devido à convergência quadrática, costuma alcançar muitas casas decimais em poucas iterações.
  • Eficiência computacional por iteração: cada passo requer apenas avaliar f e f' no ponto atual, sem somatórios nem integrais.
  • Generalização para sistemas não lineares: existe a versão matricial de Newton, que estende o método a \mathbf{F}(\mathbf{x})=\mathbf{0}.

Passo 3

Desvantagens do método de Newton
  • Necessidade de derivada: exige que f'(x) seja conhecida e fácil de calcular; em funções complicadas, esse cálculo pode ser custoso ou impreciso.
  • Convergência apenas local: se o chute inicial x_0 não estiver próximo da raiz ou se f' for pequeno, a iteração pode divergir ou oscilar sem convergir.
  • Sensibilidade ao ponto inicial: más escolhas de x_0 podem levar a raízes indesejadas, ciclos ou estancamento quando f'(x_n)\approx0.
  • Problemas em pontos singulares ou mal condicionados: quando f' se anula ou varia muito, o método pode ter desempenho instável ou divergir rapidamente.

Resposta

Vantagens:
  • Convergência quadrática local;
  • Alta precisão em poucas iterações;
  • Cada iteração é relativamente barata;
  • Extensível a sistemas de equações.
Desvantagens:
  • Requer o cálculo de f'(x);
  • Converge apenas se o chute inicial estiver perto da raiz;
  • Muito sensível à escolha de x_0 e a zeros de f';
  • Pode falhar ou divergir em funções mal condicionadas.

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