Quais são as vantagens e desvantagens do método das Cordas?

Passo 1

O enunciado pede para identificar as vantagens e desvantagens do método das cordas (ou Regula Falsi), que é um método numérico de raiz para resolver \,f(x)=0 em um intervalo inicial [a,b] tal que f(a)\,f(b)<0.

Passo 2

Sintetizando o método das cordas: dado [a,b] com f(a)\,f(b)<0, traça-se a reta que une (a,f(a)) a (b,f(b)) e calcula-se o ponto de interseção c dessa reta com o eixo x:
c \;=\; b \;-\; f(b)\,\frac{b-a}{f(b)-f(a)}.
Depois, escolhe-se o subintervalo [a,c] ou [c,b] onde há mudança de sinal e repete-se o procedimento até atingir a precisão desejada.

Passo 3

Vantagens
  • Garante que a raiz permanece sempre no interior do intervalo (método de faixa), ou seja, é globalmente convergente desde que f seja contínua.
  • Costuma convergir mais rápido que o método da bisseção, pois aproveita a inclinação da reta para ajustar o ponto c.
  • É simples de implementar e requer apenas avaliações de f (nenhuma derivada).
  • Em muitas funções bem comportadas, o número de iterações é menor que o da bisseção para a mesma precisão.

Passo 4

Desvantagens
  • Pode sofrer de “travamento” num dos extremos se f(a) ou f(b) for muito pequeno, fazendo com que um dos pontos fique quase fixo e a convergência fique muito lenta.
  • A ordem de convergência é apenas linear (no melhor caso) e pode se tornar sublinear em situações degeneradas, perdendo para métodos de ordem superior.
  • Exige obrigatoriamente mudança de sinal em [a,b]; não funciona se a raiz for múltipla sem ajuste especial.
  • Para funções muito assimétricas, tende a aproximar-se repetidamente de um mesmo extremo, retardando o progresso.

Resposta

Vantagens
  • Convergência garantida em faixa (mantém a raiz entre a e b).
  • Geralmente mais rápido que bisseção.
  • Implementação simples (só avaliações de f).
  • Menos iterações que bisseção em muitos casos.
Desvantagens
  • Pode travar num extremo, tornando a convergência muito lenta.
  • Ordem de convergência somente linear ou pior.
  • Requer f(a)\,f(b)<0; não lida diretamente com raízes múltiplas.
  • Em funções assimétricas, aproximações podem ficar presas em um lado do intervalo.

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