Se X e Y são variáveis aleatórias com densidade conjunta
f(x, y)=cl 67(x^2+x y2), & 0 <= x <= 1,0á
X e Y são correlacionadas?

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que temos duas variáveis aleatórias X e Y com densidade conjunta
f(x,y)= dfrac67l(x^2+tfracx,y2r),&0<= x<=1, 0á
A pergunta é: “X e Y são correlacionadas?”
Matéria envolvida: expectativa, função densidade marginal, covariância.
O que a gente vai precisar:
  • Calcular as densidades marginais e por integração;
  • Calcular , e ;
  • Aí a covariância . Se for diferente de zero, elas são correlacionadas.

Passo 2

Primeiro, vamos achar a densidade marginal de fX(x)=integral0^2f(x,y),dy =integral0^267l(x^2+tfracx,y2r)dy =67l(2x^2+xr) :
fY(y)=integral0^1f(x,y),dx =integral0^167l(x^2+tfracx,y2r)dx =114l(4+3yr)
E, de forma análoga, a densidade marginal de :

Passo 3

Agora, a expectativa de E[X] =integral0^1x,fX(x),dx =integral0^1xcdot67(2x^2+x),dx =57 :
E[Y] =integral0^2y,fY(y),dy =integral0^2ycdot114(4+3y),dy =87
E a expectativa de :

Passo 4

Bora pro E[XY] =integral0^1!!integral0^2x,y,f(x,y),dy,dx =67integral0^1!!integral0^2l(x^3y+tfracx^2y^22r)dy,dx =1721 , usando a densidade conjunta:

Passo 5

Com tudo em mãos, calculamos a covariância:
Cov(X,Y) =E[XY]-E[X],E[Y] =1721-57cdot87 =-1147neq0
Como deu diferente de zero, X e Y são correlacionadas.

Resposta

As variáveis e são correlacionadas, pois .

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