Se
e
são variáveis aleatórias com densidade conjunta
e
são correlacionadas?
Passo 1
Beleza, o enunciado diz que temos duas variáveis aleatórias X e Y com densidade conjunta
A pergunta é: “X e Y são correlacionadas?”
Matéria envolvida: expectativa, função densidade marginal, covariância.
O que a gente vai precisar:
Matéria envolvida: expectativa, função densidade marginal, covariância.
O que a gente vai precisar:
- Calcular as densidades marginais
e por integração; - Calcular
, e ; - Aí a covariância
. Se for diferente de zero, elas são correlacionadas.
Passo 2
Primeiro, vamos achar a densidade marginal de
:
E, de forma análoga, a densidade marginal de
:
Passo 3
Agora, a expectativa de
:
E a expectativa de
:
Passo 4
Bora pro
, usando a densidade conjunta:
Passo 5
Com tudo em mãos, calculamos a covariância:
Como deu diferente de zero, X e Y são correlacionadas.
Resposta
As variáveis
e
são correlacionadas, pois
.