Um satélite é posicionado em uma órbita circular com um raio igual à metade do raio da órbita da Lua. Qual o período de revolução em meses lunares? (Um mês lunar é o período de revolução da Lua.)

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que um satélite está em órbita circular com raio igual à metade do raio da órbita da Lua. A pergunta é: qual é o período desse satélite, medido em “meses lunares” (ou seja, em unidades do próprio período da Lua)?
Conteúdo que vamos usar: a terceira lei de Kepler para órbitas ao redor da Terra, que diz que o quadrado do período é proporcional ao cubo do raio da órbita.

Passo 2

A terceira lei de Kepler, aplicada a dois corpos orbitando o mesmo astro, pode ser escrita na forma de proporção:
Trm sat^2Trm lua^2 ;=; arm sat^3arm lua^3
onde
  • Trm sat é o período do satélite,
  • Trm lua é o período da Lua (1 mês lunar),
  • arm sat é o raio da órbita do satélite,
  • arm lua é o raio da órbita da Lua.

Passo 3

No enunciado temos arm sat = tfrac12,arm lua. Substituindo na proporção:
Trm sat^2Trm lua^2 =(arm satarm lua)^3 =(tfrac12,arm luaarm lua)^3 =(tfrac12)^3 =tfrac18

Passo 4

Agora extraímos Trm sat:
Trm sat^2Trm lua^2 = tfrac18 Longrightarrow Trm satTrm lua = raiztfrac18 = 12raiz2 = l(tfrac12r)^3/2
Como Trm lua=1 mês lunar, isso significa que
Trm sat = l(tfrac12r)^3/2 meses lunares approx 0,35 meses lunares

Resposta

Trm sat = l(tfrac12r)^3/2 meses lunares (aprox. 0,35 meses lunares).

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