A Saturnum garante que suas baterias duram no mínimo 4,5 anos. Oito delas, instaladas em carros da Ferrari, duraram, em anos:
3,5
4,7
5,1
2,9
5,2
4,7
3,8
4,3
Ao nível de significância de 5 \% e supondo que a população seja distribuida normalmente, faça um teste de hipótese para testar a afirmação com relação à média.
Passo 1
Estamos diante de um teste de hipótese para a média de uma população normalmente distribuída, em que a fabricante Saturnum garante que as baterias duram pelo menos 4,5 anos. Temos uma amostra de tamanho n=8 com as durações (em anos)
3,5,\;4,7,\;5,1,\;2,9,\;5,2,\;4,7,\;3,8,\;4,3
e queremos, ao nível de significância de 5\%, verificar se há evidência contra essa afirmação.
Passo 2
Como a garantia é “dura no mínimo 4,5 anos”, nossas hipóteses são unilaterais à esquerda:
H_0:\mu = 4,5 \quad\text{vs.}\quad H_1:\mu < 4,5.
Usaremos o teste t de Student, pois a variância populacional é desconhecida.
Passo 3
Calculamos a média amostral \bar x e o desvio-padrão amostral s.
A soma dos valores é 3,5+4,7+5,1+2,9+5,2+4,7+3,8+4,3=34,2, logo
\bar x = \frac{34,2}{8} = 4,275.
O desvio-padrão amostral vem de
s = \sqrt{\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (x_i-\bar x)^2} \approx \sqrt{\frac{4,615}{7}} \approx 0,812.
Passo 4
A estatística de teste é
t = \frac{\bar x - \mu_0}{s/\sqrt n} = \frac{4,275 - 4,5}{0,812/\sqrt8} \approx \frac{-0,225}{0,287} \approx -0,78.
Passo 5
Para n-1=7 graus de liberdade e \alpha=0,05 no teste unilateral à esquerda, o valor crítico é
t_{0,05;7} \approx -1,895.
Rejeitamos H_0 se t < -1,895. Como t\approx -0,78 > -1,895, não rejeitamos H_0.
Resposta
Não há evidência estatística, ao nível de 5\%, para rejeitar a afirmação de que a vida média das baterias é de pelo menos 4,5 anos.