Beleza, vamos lá! A gente tem uma transformação linear que vai de para e é definida por:
O que a gente precisa fazer é encontrar a representação de em relação à base que é formada pelos vetores . Ou seja, queremos saber como se comporta nessa base específica. Para isso, vamos precisar entender como aplicar em cada vetor da base e expressar o resultado de cada aplicação também na base .
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar em cada um dos vetores da base . Vamos chamar os vetores da base de :
Agora, aplicando em cada um:
Aplicando em :
Aplicando em :
Aplicando em :
Passo 3
Agora que temos [T(b_1)), e , precisamos expressar cada um desses vetores como combinação linear dos vetores da base . Ou seja, queremos encontrar escalares tais que:
para .
Vamos fazer isso para cada :
Expressando :
Isso resulta no sistema de equações:
Resolvendo:
Da terceira equação:
- Substituindo e na primeira:
Então:
Expressando :
Sistema:
Resolvendo:
Da terceira equação:
- Substituindo e na primeira:
Então:
Expressando :
Sistema:
Resolvendo:
Da terceira equação:
- Substituindo e na primeira:
Então:
Resposta
A representação de T em relação à base beta é a seguinte matriz: