Scja T: R^3 R^3 definida por
T(x, y, z)=(2 y+z, x-4 z, 3 x)
Encontre a representação de T em relação a base beta=(1,1,1),(1,1,0),(1,0,0);

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma transformação linear T que vai de R^3 para R^3 e é definida por:
T(x, y, z) = (2y + z,, x - 4z,, 3x)
O que a gente precisa fazer é encontrar a representação de T em relação à base beta que é formada pelos vetores beta = (1,1,1),, (1,1,0),, (1,0,0). Ou seja, queremos saber como T se comporta nessa base específica. Para isso, vamos precisar entender como aplicar T em cada vetor da base beta e expressar o resultado de cada aplicação também na base beta .

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar T em cada um dos vetores da base beta . Vamos chamar os vetores da base de b1, b2, b3 :
b1 = (1,1,1), b2 = (1,1,0), b3 = (1,0,0)
Agora, aplicando T em cada um:
  1. Aplicando T em b1 :
T(b1) = T(1,1,1) = (2 cdot 1 + 1,, 1 - 4 cdot 1,, 3 cdot 1) = (3,, -3,, 3)
  1. Aplicando T em b2 :
T(b2) = T(1,1,0) = (2 cdot 1 + 0,, 1 - 4 cdot 0,, 3 cdot 1) = (2,, 1,, 3)
  1. Aplicando T em b3 :
T(b3) = T(1,0,0) = (2 cdot 0 + 0,, 1 - 4 cdot 0,, 3 cdot 1) = (0,, 1,, 3)

Passo 3

Agora que temos [T(b_1)), e , precisamos expressar cada um desses vetores como combinação linear dos vetores da base . Ou seja, queremos encontrar escalares tais que:
para .
Vamos fazer isso para cada :
  1. Expressando :
Isso resulta no sistema de equações:
Resolvendo:
  • Da terceira equação:
    - Substituindo e na primeira:
Então:
  1. Expressando :
Sistema:
Resolvendo:
  • Da terceira equação:
    - Substituindo e na primeira:
Então:
  1. Expressando :
Sistema:
Resolvendo:
  • Da terceira equação:
    - Substituindo e na primeira:
Então:

Resposta

A representação de T em relação à base beta é a seguinte matriz:
3 & 3 & 3 -6 & -2 & -2 6 & 1 & -1

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