Seja
A=[lll 3 & -1 & 1 7 & -5 & 1 6 & -6 & 2 ]
Encontre todos os autovalores de A .

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz
A= 3 & -1 & 1 7 & -5 & 1 6 & -6 & 2
e pede todos os autovalores de A. O conteúdo é cálculo do polinômio característico det(A-lambda I)=0 e em seguida encontrar as raízes desse polinômio.

Passo 2

Formamos a matriz A-lambda I:
A-lambda I = 3-lambda & -1 & 1 7 & -5-lambda & 1 6 & -6 & 2-lambda

Passo 3

Calculamos o determinante por expansão na primeira linha:
det(A-lambda I) =(3-lambda)det!-5-lambda & 1-6 & 2-lambda -(-1)det!7 & 16 & 2-lambda +1det!7 & -5-lambda6 & -6

Passo 4

Cada menor vale:
det-5-lambda & 1-6 & 2-lambda =(-5-lambda)(2-lambda)+6 =lambda^2+3lambda-4,
det7 & 16 & 2-lambda =7(2-lambda)-6 =8-7lambda,
det7 & -5-lambda6 & -6 =7cdot(-6)-6(-5-lambda) =-12+6lambda
Logo
det(A-lambda I) =(3-lambda)(lambda^2+3lambda-4)+(8-7lambda)+(-12+6lambda)

Passo 5

Expandindo e somando termos:
(3-lambda)(lambda^2+3lambda-4) =-lambda^3+13lambda-12,
e
8-7lambda-12+6lambda=-4-lambda
Assim o polinômio característico é
-lambda^3+13lambda-12-lambda-4 =-lambda^3+12lambda-16
ou, multiplicando por -1,
lambda^3-12lambda+16=0
Testando lambda=2,:
2^3-12cdot2+16=8-24+16=0,
logo lambda-2 é fator. Fazendo divisão temos
lambda^3-12lambda+16=(lambda-2)(lambda^2+2lambda-8)
e
lambda^2+2lambda-8=(lambda-2)(lambda+4)
Portanto as raízes são lambda=2 (dupla) e lambda=-4.

Resposta

Os autovalores de A são
lambda1=2 (multiplicidade 2)
lambda2=-4.

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