Sejam beta=(1,0),(0,2), beta1=(-1,0),(1,1), beta2=(-1,-1),(0,-1), bases ordenadas de R^2.
As coordenadas de um vetor v em relação a base beta1 são dadas por
[v]beta1=[2-1]^T
Quais são as coordenadas de v em relação as bases beta and beta2.

Passo 1

O enunciado dá três bases ordenadas de R^2:
beta=(1,0),(0,2), beta1=(-1,0),(1,1) e beta2=(-1,-1),(0,-1).
Sabemos que as coordenadas de v em beta1 são
[v]beta1 = 2-1
A estratégia é primeiro recuperar v no referencial canônico e depois projetá-lo em beta e em beta2.

Passo 2

Para achar v no referencial canônico, usamos
v = 2cdot(-1,0) + (-1)cdot(1,1)
Calculando coordenada a coordenada,
v = (-2,0) + (-1,-1) = (-3,-1)

Passo 3

Agora queremos [v]beta com beta=(1,0),(0,2). Buscamos (x,y) tais que
x,(1,0) + y,(0,2) = (-3,-1)
Dessa equação segue x=-3 e 2y=-1implies y=-tfrac12. Logo
[v]beta = -3 [4pt] -tfrac12
]

Passo 4

Para beta2=(-1,-1),(0,-1), achamos (a,b) tal que
a,(-1,-1) + b,(0,-1) = (-3,-1)
Esse sistema dá -a=-3implies a=3 e -a-b=-1implies b=-2. Portanto
[v]beta2 = 3 [4pt] -2
]

Resposta

[v]beta = -3 -tfrac12
[v]beta2 = 3 -2

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