Sejam , bases ordenadas de .
Ache as matrizes de mudança de base e ;
Passo 1
O enunciado nos dá três bases ordenadas de :
e pede as matrizes de mudança de base , e . Vamos usar que a matriz de mudança de base de para tem como colunas as coordenadas dos vetores de expressos em .
Passo 2
Para : a base é formada por e . Expressamos cada vetor de como combinação linear desses vetores:
Para : basta resolver
que dá e . Logo .
Para : resolver
dá e . Logo .
Portanto
Passo 3
Para [I]beta2^beta: vetores de beta2 são (-1,-1) e (0,-1). Repetimos o mesmo procedimento:
Para (-1,-1):
c1(1,0)+c2(0,2)=(-1,-1)
dá c1=-1, 2c2=-1Rightarrow c2=-tfrac12. Logo [(-1,-1)]beta=(-1,-tfrac12).
Para (0,-1):
c1(1,0)+c2(0,2)=(0,-1)
dá c1=0, 2c2=-1Rightarrow c2=-tfrac12. Logo [(0,-1)]beta=(0,-tfrac12).
Assim
[I]beta2^beta = -1 & 0 -tfrac12 & -tfrac12
Passo 4
Para [I]beta2^beta1 expressamos os vetores de beta2 na base beta1=u1=(-1,0),,u2=(1,1):
Seja w1=(-1,-1). Procuramos a,b tais que
a,u1+b,u2=(-a+b,,b)=(-1,-1)
Dessa forma b=-1 e -a-1=-1Rightarrow a=0. Logo [w1]beta1=(0,-1).
Seja w2=(0,-1). Resolvendo
(-a+b,,b)=(0,-1)
vem b=-1 e -a-1=0Rightarrow a=-1. Logo [w2]beta1=(-1,-1).