Sejam beta=(1,0),(0,2), beta1=(-1,0),(1,1), beta2=(-1,-1),(0,-1), bases ordenadas de R^2.
Ache as matrizes de mudança de base lfloor 1rfloorbeta1^beta,[I]beta2^beta e [I]beta2^beta1;

Passo 1

O enunciado nos dá três bases ordenadas de R^2:
beta=(1,0),(0,2), beta1=(-1,0),(1,1), beta2=(-1,-1),(0,-1),
e pede as matrizes de mudança de base [I]beta1^beta, [I]beta2^beta e [I]beta2^beta1. Vamos usar que a matriz de mudança de base de beta' para beta tem como colunas as coordenadas dos vetores de beta' expressos em beta.

Passo 2

Para [I]beta1^beta: a base beta é formada por (1,0) e (0,2). Expressamos cada vetor de beta1 como combinação linear desses vetores:
  • Para (-1,0): basta resolver
c1(1,0)+c2(0,2)=(-1,0)
que dá c1=-1 e 2c2=0Rightarrow c2=0. Logo [(-1,0)]beta=(-1,0).
  • Para (1,1): resolver
c1(1,0)+c2(0,2)=(1,1)
c1=1 e 2c2=1Rightarrow c2=tfrac12. Logo [(1,1)]beta=(1,tfrac12).
Portanto
[I]beta1^beta = -1 & 1 0 & tfrac12

Passo 3

Para [I]beta2^beta: vetores de beta2 são (-1,-1) e (0,-1). Repetimos o mesmo procedimento:
  • Para (-1,-1):
c1(1,0)+c2(0,2)=(-1,-1)
c1=-1, 2c2=-1Rightarrow c2=-tfrac12. Logo [(-1,-1)]beta=(-1,-tfrac12).
  • Para (0,-1):
c1(1,0)+c2(0,2)=(0,-1)
c1=0, 2c2=-1Rightarrow c2=-tfrac12. Logo [(0,-1)]beta=(0,-tfrac12).
Assim
[I]beta2^beta = -1 & 0 -tfrac12 & -tfrac12

Passo 4

Para [I]beta2^beta1 expressamos os vetores de beta2 na base beta1=u1=(-1,0),,u2=(1,1):
  • Seja w1=(-1,-1). Procuramos a,b tais que
a,u1+b,u2=(-a+b,,b)=(-1,-1)
Dessa forma b=-1 e -a-1=-1Rightarrow a=0. Logo [w1]beta1=(0,-1).
  • Seja w2=(0,-1). Resolvendo
(-a+b,,b)=(0,-1)
vem b=-1 e -a-1=0Rightarrow a=-1. Logo [w2]beta1=(-1,-1).
Portanto
[I]beta2^beta1 = 0 & -1 -1 & -1

Resposta

[I]beta1^beta = -1 & 1 0 & tfrac12 , [I]beta2^beta = -1 & 0 -tfrac12 & -tfrac12 , [I]beta2^beta1 = 0 & -1 -1 & -1

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