A secretaria de saúde de um estado brasileiro obteve uma taxa de 10 % de incidência do vírus HIV na população “de risco”, e uma taxa de 0,3% na população “normal”. Aproximadamente 4% da população do estado pode ser considerada “de risco”. Os testes para identificação do vírus HIV são corretos em 95% dos casos (detectam o vírus quando ele existe, e não detectam quando não existe).
a) Escolhida aleatoriamente uma pessoa da população, qual é a probabilidade de ser “normal” e seu teste de HIV dar positivo? (R.: 0,050592)
b) Escolhida aleatoriamente uma pessoa da população, qual é a probabilidade de seu teste de HIV dar positivo? (R.: 0,0056)
c) Escolhida aleatoriamente uma pessoa, qual é a probabilidade de seu teste de HIV dar um resultado incorreto? (R.: 0,05)
d) Escolhida aleatoriamente uma pessoa da população “de risco” e que o teste detecta HIV, qual é a probabilidade de a pessoa ter o vírus HIV se seu teste de HIV for positivo? (R.: 0,6785)
e) Escolhida aleatoriamente uma pessoa da população “normal” e que o teste não detecta HIV, qual é a probabilidade de a pessoa não ter o vírus HIV se seu teste de HIV for negativo? (R.: 0,9998)

Passo 1

A questão fala sobre probabilidades condicionais envolvendo um teste de HIV: temos duas populações (“de risco” e “normal”), taxas de incidência em cada uma e precisão do teste. Vamos usar definição de probabilidade total e Teorema de Bayes para resolver.

Passo 2

Definimos os eventos e as probabilidades básicas:
  • R = pessoa “de risco”, N = pessoa “normal”;
  • P® = 0,04 e P(N) = 0,96;
  • H = pessoa tem HIV, H^c = não tem HIV;
  • P(H|R) = 0,10 e P(H|N) = 0,003;
  • teste positivo T+ com sensibilidade P(T+|H)=0,95 e teste negativo T- com especificidade P(T-|H^c)=0,95.

Passo 3

Para (a), queremos P(N ∧ T+). Usamos a divisão por cenário em N: true positive e false positive:
Calculamos P(T+|N)=P(H|N)·P(T+|H)+P(Hc|N)·P(T+|Hc).
P(T+|N)=0,003times0,95+0,997times0,05=0,00285+0,04985=0,0527
Então
P(Nland T+)=P(N)times P(T+|N)=0,96times0,0527=0,050592

Passo 4

Para (b), queremos P(T+) na população geral. Aplicamos probabilidade total sobre R e N:
P(T+)=P(R),P(T+|R)+P(N),P(T+|N)
Já calculamos P(T+|N)=0,0527. Agora em R:
P(T+|R)=P(H|R),P(T+|H)+P(H^c|R),P(T+|H^c)=0,10times0,95+0,90times0,05=0,095+0,045=0,14
Logo
P(T+)=0,04times0,14+0,96times0,0527=0,0056+0,050592=0,056192

Passo 5

Para ©, erro do teste é evento (T+ e H^c) ou (T- e H). Mas como ambas as taxas de erro são 0,05, a probabilidade de erro independente da pessoa é
P(erro)=P(H),0,05+P(H^c),0,05=0,05times[P(H)+P(H^c)]=0,05
Ou simplesmente como o teste é 95% correto, é 5% incorreto.

Passo 6

Para (d), pedem P(H|T+ ∧ R), usando Bayes restrito ao grupo “de risco”:
P(H|T+land R)=P(T+|Hland R),P(H|R)P(T+|R)=0,95times0,100,14=0,0950,14approx0,678571

Passo 7

Para (e), pedem P(H^c|T- ∧ N), usando Bayes no grupo normal:
P(H^c|T-land N)=P(T-|H^cland N),P(H^c|N)P(T-|N)
Em que
P(T-|H^cland N)=0,95, P(H^c|N)=0,997, P(T-|Hland N)=0,05, P(H|N)=0,003
Então
P(T-|N)=0,95times0,997+0,05times0,003=0,94715+0,00015=0,9473
E
P(H^c|T-land N)=0,95times0,9970,9473=0,947150,9473approx0,999841

Resposta

a) 0,050592
b) 0,056192
c) 0,05
d) 0,678571
e) 0,999841

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