A secretaria de saúde de um estado brasileiro obteve uma taxa de
de incidência do vírus HIV na população “de risco”, e uma taxa de 0,3% na população “normal”. Aproximadamente 4% da população do estado pode ser considerada “de risco”. Os testes para identificação do vírus HIV são corretos em 95% dos casos (detectam o vírus quando ele existe, e não detectam quando não existe).
a) Escolhida aleatoriamente uma pessoa da população, qual é a probabilidade de ser “normal” e seu teste de HIV dar positivo? (R.: 0,050592)
b) Escolhida aleatoriamente uma pessoa da população, qual é a probabilidade de seu teste de HIV dar positivo? (R.: 0,0056)
c) Escolhida aleatoriamente uma pessoa, qual é a probabilidade de seu teste de HIV dar um resultado incorreto? (R.: 0,05)
d) Escolhida aleatoriamente uma pessoa da população “de risco” e que o teste detecta HIV, qual é a probabilidade de a pessoa ter o vírus HIV se seu teste de HIV for positivo? (R.: 0,6785)
e) Escolhida aleatoriamente uma pessoa da população “normal” e que o teste não detecta HIV, qual é a probabilidade de a pessoa não ter o vírus HIV se seu teste de HIV for negativo? (R.: 0,9998)
a) Escolhida aleatoriamente uma pessoa da população, qual é a probabilidade de ser “normal” e seu teste de HIV dar positivo? (R.: 0,050592)
b) Escolhida aleatoriamente uma pessoa da população, qual é a probabilidade de seu teste de HIV dar positivo? (R.: 0,0056)
c) Escolhida aleatoriamente uma pessoa, qual é a probabilidade de seu teste de HIV dar um resultado incorreto? (R.: 0,05)
d) Escolhida aleatoriamente uma pessoa da população “de risco” e que o teste detecta HIV, qual é a probabilidade de a pessoa ter o vírus HIV se seu teste de HIV for positivo? (R.: 0,6785)
e) Escolhida aleatoriamente uma pessoa da população “normal” e que o teste não detecta HIV, qual é a probabilidade de a pessoa não ter o vírus HIV se seu teste de HIV for negativo? (R.: 0,9998)
Passo 1
A questão fala sobre probabilidades condicionais envolvendo um teste de HIV: temos duas populações (“de risco” e “normal”), taxas de incidência em cada uma e precisão do teste. Vamos usar definição de probabilidade total e Teorema de Bayes para resolver.
Passo 2
Definimos os eventos e as probabilidades básicas:
- R = pessoa “de risco”, N = pessoa “normal”;
- P® = 0,04 e P(N) = 0,96;
- H = pessoa tem HIV, H^c = não tem HIV;
- P(H|R) = 0,10 e P(H|N) = 0,003;
- teste positivo T+ com sensibilidade P(T+|H)=0,95 e teste negativo T- com especificidade P(T-|H^c)=0,95.
Passo 3
Para (a), queremos P(N ∧ T+). Usamos a divisão por cenário em N: true positive e false positive:
Calculamos P(T+|N)=P(H|N)·P(T+|H)+P(Hc|N)·P(T+|Hc).
Calculamos P(T+|N)=P(H|N)·P(T+|H)+P(Hc|N)·P(T+|Hc).
Então
Passo 4
Para (b), queremos P(T+) na população geral. Aplicamos probabilidade total sobre R e N:
Já calculamos P(T+|N)=0,0527. Agora em R:
Logo
Passo 5
Para ©, erro do teste é evento (T+ e H^c) ou (T- e H). Mas como ambas as taxas de erro são 0,05, a probabilidade de erro independente da pessoa é
Ou simplesmente como o teste é 95% correto, é 5% incorreto.
Passo 6
Para (d), pedem P(H|T+ ∧ R), usando Bayes restrito ao grupo “de risco”:
Passo 7
Para (e), pedem P(H^c|T- ∧ N), usando Bayes no grupo normal:
Em que
Então
E
Resposta
a) 0,050592
b) 0,056192
c) 0,05
d) 0,678571
e) 0,999841
b) 0,056192
c) 0,05
d) 0,678571
e) 0,999841