Um segmento S de
separa duas fontes sonoras pontuais que vibram em fase com uma frequência de
. As fontes emitem ondas com mesma amplitude e em oposição de fase. Considere a velocidade do som
. Determine a diferença de fase entre as ondas no ponto X , em função do comprimento de ondas das fontes
, de X e da distância L de separação.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre duas fontes sonoras que estão separadas por um segmento de 5 metros. Essas fontes vibram com a mesma frequência, que é de 30 Hz, e emitem ondas com a mesma amplitude, mas em oposição de fase. A velocidade do som é 340 m/s. A gente precisa descobrir a diferença de fase entre as ondas num ponto X específico, levando em consideração o comprimento de onda das fontes (λ), a posição de X e a distância L entre as fontes.
Vamos precisar usar conceitos de interferência de ondas, comprimento de onda, frequência e como calcular a fase de uma onda em um ponto específico.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o comprimento de onda (λ) está relacionado à velocidade do som (v) e à frequência (f) pela fórmula:
Vamos calcular o comprimento de onda das fontes usando os valores fornecidos.
Passo 3
Substituindo os valores na fórmula:
Então, o comprimento de onda das fontes é aproximadamente 11,33 metros.
Passo 4
Agora, para encontrar a diferença de fase no ponto X, precisamos considerar o caminho que cada onda percorre até chegar nesse ponto. Se as fontes estão separadas por uma distância L (que é 5 metros), e o ponto X está a uma distância d de uma das fontes, então a distância total percorrida pelas ondas é diferente para cada fonte.
Vamos chamar:
- $ d_1 $ = distância da fonte 1 até X
- $ d_2 $ = distância da fonte 2 até X
Passo 5
A diferença de caminho ($ \Delta d $) é então:
Essa diferença de caminho causa uma diferença de fase ($ \Delta \phi $) entre as ondas quando elas chegam ao ponto X.
Passo 6
A relação entre a diferença de caminho e a diferença de fase é dada por:
Isso porque um comprimento de onda completa 360 graus de fase (ou $ 2\pi $ radianos).
Passo 7
Então, substituindo $ \Delta d $ na fórmula, temos:
Agora, precisamos expressar $ d_2 $ e $ d_1 $ em função de L e da posição de X.
Passo 8
Se considerarmos que o ponto X está alinhado perpendicularmente ao segmento que une as duas fontes e a uma distância X do ponto médio entre elas, podemos usar o Teorema de Pitágoras para expressar $ d_1 $ e $ d_2 $.
Supondo que o ponto X esteja a uma distância X da linha central, temos:
Passo 9
No entanto, como as fontes estão emitindo ondas em oposição de fase, isso significa que há uma diferença inicial de fase de $ \pi $ radianos entre elas. Então, a diferença total de fase será a somatória dessa diferença inicial com aquela causada pela diferença de caminho.
Portanto:
Passo 10
Finalmente, simplificando a expressão e substituindo $ d_2 - d_1 $ por $ L $ (já que a distância entre as fontes é L), obtemos a diferença de fase em função de λ, X e L:
Resposta
A diferença de fase entre as ondas no ponto X é dada por:
Onde:
- $ \pi $ representa a diferença de fase inicial devido às ondas estarem em oposição de fase,
- $ L $ é a distância de separação entre as fontes,
- $ \lambda $ é o comprimento de onda das fontes.