O segmento reto semi-infinito, z >= 0, x=y=0, está carregado com rhoL=15 nC / m, no vácuo. Determine E nos pontos: (b) PB(1,2,3).

Passo 1

O enunciado pede para achar o campo elétrico em devido a um fio reto semi-infinito que está no eixo para , com densidade linear de carga .
Conteúdo: lei de Coulomb para distribuições contínuas (campo de uma linha carregada). Vamos precisar usar integração e vetores para somar as contribuições de cada pedacinho de carga.

Passo 2

Teoria envolvida: para uma densidade linear vec E(P);=;14piepsilon0;integralrhoL,dell;hat RR^2, ao longo de um fio, o campo num ponto é
onde é um elemento de comprimento do fio, , e .

Passo 3

Coordenadas: ponto genérico no fio é dvec E =14piepsilon0,rhoL,dz'[5+(3-z')^2]^3/2,(1,2,3-z') com de a . O ponto onde calculamos é .
Logo
,
,
e .
Então

Passo 4

Vamos separar em componentes. Definindo
I=integral0^inftydz'[5+(3-z')^2]^3/2,
temos
Ex=rhoL4piepsilon0;1cdot I, Ey=rhoL4piepsilon0;2cdot I
Para calcular I =integralu=3^-infty-du(5+u^2)^3/2 =integral-infty^3du(5+u^2)^3/2 , faça I =[u5raiz5+u^2]-infty^3 =35raiz14-l(limuto-inftyu5|u|r) =35raiz14+15 =raiz14+35raiz14 . Os limites vão de até . A integral vira
A primitiva conhecida é
.
Logo, com , avaliando de a :

Passo 5

Agora a componente Ez =rhoL4piepsilon0 integral0^infty3-z'[5+(3-z')^2]^3/2,dz' :
Ez =rhoL4piepsilon0 integral-infty^3u(5+u^2)^3/2,du
Novamente use Ez =rhoL4piepsilon0l[-1raiz5+u^2r]-infty^3 =rhoL4piepsilon0l(-1raiz14-0r) =-rhoL4piepsilon0,1raiz14 , , limites de a :
A primitiva de é . Avaliando:

Passo 6

Vamos juntar tudo. Defina
K=rhoL4piepsilon0 e I=raiz14+35raiz14
Então
Ex=K,I, Ey=2K,I, Ez=-K,1raiz14
Para K=15times10^-9times9times10^9=135,, e I=raiz14+35raiz14approx0.0505, 1raiz14approx0.2673 ,
Ex=135times0.0505approx6.82rm,V/m, Ey=2times6.82approx13.64rm,V/m, Ez=-135times0.2673approx-36.1rm,V/m
e numericamente
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Resposta

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