No que segue, seja o problema de se resolver
. Para tanto, admita:
-
e
;
-
- Truncamento de cinco casas.
Nos exercícios de 1-5, considere
.
Defina uma função de iteração que gere uma seqüência numérica convergente para resolver a equação pelo Método do Ponto Fixo.
Nos exercícios de 1-5, considere
Defina uma função de iteração que gere uma seqüência numérica convergente para resolver a equação pelo Método do Ponto Fixo.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação
pelo Método do Ponto Fixo, admitindo tolerâncias e truncamento.
Conteúdo: Fixed Point Iteration (Método do Ponto Fixo).
O que vamos precisar:
Conteúdo: Fixed Point Iteration (Método do Ponto Fixo).
O que vamos precisar:
- Transformar
numa forma . - Entender que, para convergir, precisamos de
num intervalo apropriado.
Passo 2
Teoria do Ponto Fixo (bem de boa):
Queremos escrever nossa equação como
Queremos escrever nossa equação como
A sequência
converge para a raiz se, num intervalo que contenha a raiz, o derivado satisfaz
Isso garante que cada iteração “puxe” o valor para junto da solução.
Passo 3
Agora, pego minha função
e isolo
. Uma forma natural é passar o
pro outro lado e trocar de sinal:
Pronto: defini
Passo 4
Vou checar o critério de convergência:
Para a raiz real, a gente viu que ela está entre
e
. Nesse intervalo,
Logo,
ali, o que garante que a sequência
converge.
Resposta
A função de iteração que gera uma sequência convergente é