No que segue, seja o problema de se resolver f(x)=0. Para tanto, admita:
  • |f(xk)| e ERRO REL ;
  • ITMAX=5
  • Truncamento de cinco casas.
    Nos exercícios de 1-5, considere f(x)=ln (x)-x+2=0.
    Defina uma função de iteração que gere uma seqüência numérica convergente para resolver a equação pelo Método do Ponto Fixo.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação
f(x)=ln(x)-x+2=0
pelo Método do Ponto Fixo, admitindo tolerâncias e truncamento.
Conteúdo: Fixed Point Iteration (Método do Ponto Fixo).
O que vamos precisar:
  • Transformar numa forma .
  • Entender que, para convergir, precisamos de num intervalo apropriado.

Passo 2

Teoria do Ponto Fixo (bem de boa):
Queremos escrever nossa equação como
x = g(x)
A sequência lvert g'(x)rvert < 1 converge para a raiz se, num intervalo que contenha a raiz, o derivado satisfaz
Isso garante que cada iteração “puxe” o valor para junto da solução.

Passo 3

Agora, pego minha função
f(x)=ln(x)-x+2=0
e isolo ln(x)+2 = x . Uma forma natural é passar o g(x) = ln(x) + 2 pro outro lado e trocar de sinal:
Pronto: defini

Passo 4

Vou checar o critério de convergência:
g'(x) = ddxl(ln(x)+2r) = 1x
Para a raiz real, a gente viu que ela está entre 0 < 1x <= 13 < 1 e . Nesse intervalo,
Logo, ali, o que garante que a sequência converge.

Resposta

A função de iteração que gera uma sequência convergente é
boxedg(x) = ln(x) + 2

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