No que segue, seja o problema de se resolver f(x)=0. Para tanto, admita:
  • |f(xk)| e ERRO REL ;
  • ITMAX=5
  • Truncamento de cinco casas.
    Nos exercícios de 1-5, considere f(x)=ln (x)-x+2=0.
    Com base no intervalo do exercício 2, estime o número mínimo de iterações necessárias para que a seqüência de aproximações gerada pelo Método da Bissecção convirja para x=xi.

Passo 1

Beleza, o exercício pede: “Dado o intervalo que achamos no Ex. 2 (onde encontramos sinal trocado para
f(x)=ln(x)−x+2), estime o número mínimo de iterações do método da bisseção para convergir ao
zero ξ dessa f.”
Conteúdo: método da bisseção e sua cota de erro.
Vamos precisar
  1. Da fórmula teórica |xₙ−ξ| ≤ (b−a)/2ⁿ.
  2. Das tolerâncias dadas:
    • |f(xₖ)| < ε₁ =10⁻²
    • erro relativo < ε₂ =10⁻¹
  3. Estimar ξ ≃ 3,15 e f′(ξ) pra ligar |xₙ−ξ| a |f(xₙ)|.

Passo 2

Primeiro, identificamos o intervalo do Ex. 2: testando f(3)≈0,098>0 e f(4)≈−0,614<0, logo escolhemos [a,b]=[3,4].
O comprimento inicial é L₀ = b−a = 1.

Passo 3

Sabendo que na bisseção vale
|xₙ−ξ| ≤ L₀/2ⁿ = 1/2ⁿ,
para garantir o erro relativo ≤ ε₂ usamos
|xₙ−ξ| ≤ ε₂·|ξ| ≃ 0,1·3,15 = 0,315.
Daí exigimos
1/2ⁿ ≤ 0,315
⇔ 2ⁿ ≥ 1/0.315 ≃ 3,175
⇔ n ≥ log₂(3,175) ≃ 1,66
logo n≥2 para cumprir o erro relativo.

Passo 4

Porém também precisamos |f(xₙ)| < ε₁ =10⁻².
Usando Taylor simples, |f(xₙ)−f(ξ)| ≃ |f′(ξ)|·|xₙ−ξ| e como f(ξ)=0,
|f(xₙ)| ≤ M·|xₙ−ξ|,
onde M = max|f′(x)| perto de ξ. Como f′(x)=1/x−1, em ξ≈3,15 dá |f′(ξ)|≈0,68.
Para |f(xₙ)|≤10⁻² precisamos
0,68·|xₙ−ξ| ≤ 10⁻²
⇔ |xₙ−ξ| ≤ 10⁻²/0,68 ≃ 0,0147.
Então impomos
1/2ⁿ ≤ 0,0147
⇔ 2ⁿ ≥ 1/0,0147 ≃ 68
⇔ n ≥ log₂(68) ≃ 6,09
ou seja, n≥7 para garantir |f(xₙ)|<10⁻².

Resposta

O número mínimo de iterações pela bisseção é n = 7.

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