No que segue, seja o problema de se resolver f(x)=0. Para tanto, admita:
  • |f(xk)| e ERRO REL ;
  • ITMAX=5
  • Truncamento de cinco casas.
    Nos exercícios de 1-5, considere f(x)=ln (x)-x+2=0.
    Determine um intervalo que contenha a menor raiz exata positiva x=xi dessa equação.

Passo 1

Beleza, o exercício pede pra gente achar um intervalo em que está a menor raiz positiva da equação
f(x)=ln(x);-;x;+;2;=;0
Isso cai em Análise Numérica, mais especificamente no teorema de Bolzano (ou Teorema do Valor Intermediário). Vamos precisar saber que, se uma função contínua muda de sinal entre e , então existe pelo menos uma raiz em . Também vamos usar a continuidade de para .

Passo 2

Primeiro, verificamos valores de f(1)=ln(1)-1+2=0-1+2=1>0 em pontos inteiros até achar mudança de sinal:
  1. Em f(2)=ln(2)-2+2approx0,6931-2+2=0,6931>0 : f(3)=ln(3)-3+2approx1,0986-3+2=0,0986>0
  2. Em f(4)=ln(4)-4+2approx1,3863-4+2=-0,6137<0 :
  3. Em :
  4. Em :
Note que de para a função mudou de sinal ( para ). Pela continuidade de em , o Teorema de Bolzano garante pelo menos uma raiz nesse intervalo.

Passo 3

Como [,3,;4,] e , concluímos que a menor raiz positiva está contida em

Resposta

[;3,;4;]

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