Seguindo a metodologia das atividades acima, desenvolva os sistemas abaixo e encontre expressões que correspondem às soluções das incógnitas para cada caso (registre todos os passos):
a) \begin{cases}a x+c y=e & x= \\\ b x+d y=f & y=\end{cases}

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema linear
\begin{cases} a\,x + c\,y = e,\\\ b\,x + d\,y = f, \end{cases}
e pede as expressões de \,x e \,y. O conteúdo aqui é resolução de sistemas 2\times2, que podemos fazer por eliminação de variáveis ou pela regra de Cramer. Vamos usar eliminação.

Passo 2

Primeiro, definimos o determinante principal do sistema,
\Delta = a\,d - b\,c.
Esse valor não pode ser zero se quisermos solução única.

Passo 3

Para eliminar y e achar x, multiplica-se a primeira equação por d e a segunda por c, e em seguida subtrai-se:
d\,(a\,x + c\,y) \;-\; c\,(b\,x + d\,y) = d\,e \;-\; c\,f.
No lado esquerdo surge
a\,d\,x + c\,d\,y - b\,c\,x - c\,d\,y = (a\,d - b\,c)\,x = \Delta\,x.
Logo
\Delta\,x = d\,e - c\,f \quad\Longrightarrow\quad x = \frac{d\,e - c\,f}{\Delta}.

Passo 4

Para eliminar x e achar y, multiplica-se a primeira equação por b e a segunda por a, e subtrai-se:
b\,(a\,x + c\,y) \;-\; a\,(b\,x + d\,y) = b\,e \;-\; a\,f.
No lado esquerdo fica
a\,b\,x + b\,c\,y - a\,b\,x - a\,d\,y = (b\,c - a\,d)\,y = -\Delta\,y.
Portanto
-\Delta\,y = b\,e - a\,f \quad\Longrightarrow\quad y = \frac{a\,f - b\,e}{\Delta}.

Resposta

x = \frac{d\,e - c\,f}{a\,d - b\,c}, \qquad y = \frac{a\,f - b\,e}{a\,d - b\,c}.

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