Suponha que F0 é uma álgebra, mu é uma medida em sigmalang<=F0rang<= e mu é sigma-finita em F0.
a) Suponha B in sigmalang<=F0rang<= e epsilon>0. Mostre que existe uma sequência disjunta de F0 conjuntos A1, A2, ldots tais que B subset cupn=1^infty An e mu(cupn=1^infty An-B) <= epsilon

Passo 1

O problema é do conteúdo Teoria da Medida: dado um álgebra F0, uma medida mu em sigmalang<=F0rang<= que é sigma-finita em F0, e um conjunto Binsigmalang<=F0rang<=, mostrar que para todo epsilon>0 existe sequência disjunta de conjuntos de F0 cobrindo B com sobra de medida <=epsilon. Vamos usar a ideia de aproximar cada pedaço de B em partes de medida finita e depois formar conjuntos disjuntos.

Passo 2

Pela sigma-finitude em F0, existe uma sequência (Cn)n>=1subsetF0 tal que
cupn=1^infty Cn=Omega
e mu(Cn) para todo n. Como Binsigmalang<=F0rang<=, temos Bcap Cninsigmalang<=F0rang<= e mu(Bcap Cn)<=mu(Cn).

Passo 3

Para cada n, usando a regularidade externa da medida em conjuntos de medida finita, existe AninF0 tal que
Bcap Cnsubset An
e
mul(Ansetminus(Bcap Cn)r)<=epsilon2^n

Passo 4

Definimos agora conjuntos disjuntos em F0 por
D1=A1,
Dn= Ansetminuscupk=1^n-1Ak(n>=2)
Cada Dn está em F0 (fechamento por união finita e diferença) e os Dn são disjuntos. Além disso,
Bsubsetcupn=1^infty An=cupn=1^infty Dn
e
cupn=1^infty Dnsetminus B;=;cupn=1^inftyl(Dnsetminus Br)
Como Dnsubset An, temos
mu(Dnsetminus B)<=mu(Ansetminus(Bcap Cn))<=epsilon2^n

Passo 5

Por subaditividade da medida,
mul(cupn=1^infty Dnsetminus Br)<=sumn=1^inftymu(Dnsetminus B)<=sumn=1^inftyepsilon2^n=epsilon
Assim, a sequência (Dn) em F0 é disjunta, cobre B e satisfaz a sobra de medida <=epsilon.

Resposta

Basta tomar a sequência disjunta (Dn)subsetF0 definida por
D1=A1, Dn=Ansetminuscupk=1^n-1Ak;(n>=2),
que garante
Bsubsetcupn=1^infty Dnemul(cupn=1^infty Dnsetminus Br)<=epsilon

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