Suponha que
é uma álgebra,
é uma medida em
e
é
-finita em
.
a) Suponha
e
. Mostre que existe uma sequência disjunta de
conjuntos
tais que
e
a) Suponha
Passo 1
O problema é do conteúdo Teoria da Medida: dado um álgebra
, uma medida
em
que é
-finita em
, e um conjunto
, mostrar que para todo
existe sequência disjunta de conjuntos de
cobrindo
com sobra de medida
. Vamos usar a ideia de aproximar cada pedaço de
em partes de medida finita e depois formar conjuntos disjuntos.
Passo 2
Pela
-finitude em
, existe uma sequência
tal que
e
para todo
. Como
, temos
e
.
Passo 3
Para cada
, usando a regularidade externa da medida em conjuntos de medida finita, existe
tal que
e
Passo 4
Definimos agora conjuntos disjuntos em
por
Cada
está em
(fechamento por união finita e diferença) e os
são disjuntos. Além disso,
e
Como
, temos
Passo 5
Por subaditividade da medida,
Assim, a sequência
em
é disjunta, cobre
e satisfaz a sobra de medida
.
Resposta
Basta tomar a sequência disjunta
definida por
que garante