Com o seguinte quadro de distribuição conjunta de duas variáveis aleatórias discretas Xe Y :
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1
a) Determine a covariância entre
e
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Passo 1
Beleza, o exercício tá falando de duas variáveis aleatórias X e Y com uma tabela de probabilidades conjuntas. O que a gente quer é a covariância entre X e Y.
Conteúdo: estatística, mais especificamente esperança (E[X], E[Y], E[XY]) e covariância.
O que vamos precisar:
Conteúdo: estatística, mais especificamente esperança (E[X], E[Y], E[XY]) e covariância.
O que vamos precisar:
- Calcular E[X] usando a distribuição marginal de X.
- Calcular E[Y] usando a distribuição marginal de Y.
- Calcular E[XY] fazendo a soma de x·y·P(X=x,Y=y) pra todos os pares.
- Usar a fórmula da covariância:
Passo 2
Primeiro, E[X]. Lembra que esperança de X é
Da tabela marginal, temos
P(X=2)=7/25, P(X=3)=10/25, P(X=4)=8/25.
Então
P(X=2)=7/25, P(X=3)=10/25, P(X=4)=8/25.
Então
Passo 3
Agora, E[Y]. Mesma ideia:
Marginal de Y: P(Y=1)=7/25, P(Y=2)=8/25, P(Y=3)=10/25.
Passo 4
Agora E[XY], que é
Basta somar cada célula da tabela:
- Para Y=1:
2·1·(1/25) + 3·1·(4/25) + 4·1·(2/25) = (2 + 12 + 8)/25 = 22/25 - Para Y=2:
2·2·(2/25) + 3·2·(5/25) + 4·2·(1/25) = (8 + 30 + 8)/25 = 46/25 - Para Y=3:
2·3·(4/25) + 3·3·(1/25) + 4·3·(5/25) = (24 + 9 + 60)/25 = 93/25
Somando tudo:
Passo 5
Finalmente, a covariância é
Calculando:
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