(4,0) Com o seguinte quadro de distribuição conjunta de duas variáveis aleatórias discretas Xe Y :
|l|l|l|l|l| hline$X$ & 2 & 3 & 4 & $P(y)$ $Y$ & & & & hline 1 & $1 / 25$ & $4 / 25$ & $2 / 25$ & $7 / 25$ hline 2 & $2 / 25$ & $5 / 25$ & $1 / 25$ & $8 / 25$ hline 3 & $4 / 25$ & $1 / 25$ & $5 / 25$ & $10 / 25$ hline$P(x)$ & $7 / 25$ & $10 / 25$ & $8 / 25$ & 1 hline 2 3 4 x
y
1
2
3
1
a) Determine a covariância entre e ;

Passo 1

Beleza, o exercício tá falando de duas variáveis aleatórias X e Y com uma tabela de probabilidades conjuntas. O que a gente quer é a covariância entre X e Y.
Conteúdo: estatística, mais especificamente esperança (E[X], E[Y], E[XY]) e covariância.
O que vamos precisar:
  1. Calcular E[X] usando a distribuição marginal de X.
  2. Calcular E[Y] usando a distribuição marginal de Y.
  3. Calcular E[XY] fazendo a soma de x·y·P(X=x,Y=y) pra todos os pares.
  4. Usar a fórmula da covariância:
Cov(X,Y) = E[XY] ;-; E[X],E[Y]

Passo 2

Primeiro, E[X]. Lembra que esperança de X é
E[X] ;=; sumx x,P(X=x)
Da tabela marginal, temos
P(X=2)=7/25, P(X=3)=10/25, P(X=4)=8/25.
Então
E[X] = 2cdot725 + 3cdot1025 + 4cdot825 = 14 + 30 + 3225 = 7625 = 3,04

Passo 3

Agora, E[Y]. Mesma ideia:
E[Y] = sumy y,P(Y=y)
Marginal de Y: P(Y=1)=7/25, P(Y=2)=8/25, P(Y=3)=10/25.
E[Y] = 1cdot725 + 2cdot825 + 3cdot1025 = 7 + 16 + 3025 = 5325 = 2,12

Passo 4

Agora E[XY], que é
E[XY] = sumx,y x,y,P(X=x,Y=y)
Basta somar cada célula da tabela:
  • Para Y=1:
    2·1·(1/25) + 3·1·(4/25) + 4·1·(2/25) = (2 + 12 + 8)/25 = 22/25
  • Para Y=2:
    2·2·(2/25) + 3·2·(5/25) + 4·2·(1/25) = (8 + 30 + 8)/25 = 46/25
  • Para Y=3:
    2·3·(4/25) + 3·3·(1/25) + 4·3·(5/25) = (24 + 9 + 60)/25 = 93/25
Somando tudo:
E[XY] = 22 + 46 + 9325 = 16125 = 6,44

Passo 5

Finalmente, a covariância é
Cov(X,Y) = E[XY] ;-; E[X],E[Y] = 16125 ;-; 7625times5325
Calculando:
7625times5325 = 4028625, 16125 = 161cdot25625 = 4025625,
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Cov(X,Y) = 4025625 - 4028625 = -3625

Resposta

boxedCov(X,Y) = -3625 approx -0,0048

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