A seguinte reação: 2 \mathrm{~N}_{2} \mathrm{O}_{(\mathrm{G})} \rightarrow 2 \mathrm{~N}_{2(\mathrm{G})}+\mathrm{O}_{2(\mathrm{G})}
Apresenta a seguinte lei de velocidade: velocidade =k\left[\mathrm{~N}_{2} \mathrm{O}\right]; sendo que a reação ocorreu a 780^{\circ} \mathrm{C} e a concentração inicial de \mathrm{N}_{2} \mathrm{O} é 0,20 \mathrm{~mol} / \mathrm{L} e \mathrm{k}=3,4 \mathrm{~s}^{-1}. Qual a concentração de \mathrm{N}_{2} \mathrm{O} restante após:
15 minutos

Passo 1

O enunciado dá uma reação e pede a concentração de \mathrm{N}_2\mathrm{O} após 15 minutos. Informações fornecidas:
\text{Reação: }2\,\mathrm{N}_2\mathrm{O}_{(g)} \rightarrow 2\,\mathrm{N}_2_{(g)} + \mathrm{O}_2_{(g)}
\text{Lei de velocidade: } \text{velocidade} = k\,[\mathrm{N}_2\mathrm{O}]
[\mathrm{N}_2\mathrm{O}]_0 = 0{,}20\\ \mathrm{mol}\,\mathrm{L}^{-1}
k = 3{,}4\\ \mathrm{s}^{-1}
\text{Tempo pedido: } t = 15\\ \text{min}
O que se pede: calcular [\mathrm{N}_2\mathrm{O}] restante após t=15 minutos.

Passo 2

Identificação do tipo de reação e da equação integrada que vamos usar (aqui ensino a teoria de forma direta).
A lei de velocidade é da forma \text{velocidade}=k\,[A], ou seja, é de primeira ordem em [A]. Para reações de primeira ordem a definição diferencial é
-\frac{d[A]}{dt}=k\,[A],
onde [A] é a concentração do reagente (aqui [A]=[\mathrm{N}_2\mathrm{O}]), t é o tempo e k é a constante de velocidade. A interpretação: a velocidade de consumo de A é proporcional à concentração de A.

Passo 3

Derivação passo a passo da equação integrada de primeira ordem (sem pular etapas).
Começamos separando as variáveis:
\frac{d[A]}{[A]} = -k\,dt.
Agora integramos dos valores iniciais aos valores no tempo t. Integramos [A] de [A]_0 até [A]_t e t de 0 até t:
\int_{[A]_0}^{[A]_t}\frac{d[A]}{[A]} = -\int_{0}^{t} k\,dt.
A integral do lado esquerdo é \ln\!\big([A]_t\big)-\ln\!\big([A]_0\big) e a do lado direito é -kt. Logo:
\ln\!\big([A]_t\big)-\ln\!\big([A]_0\big) = -kt.
Usando propriedades dos logaritmos obtemos a forma exponencial:
\ln\!\left(\frac{[A]_t}{[A]_0}\right) = -kt
e portanto
[A]_t = [A]_0\,e^{-kt}.
Esta é a fórmula que vamos aplicar. Aqui, [A]_0 é a concentração inicial, k a constante de velocidade (unidade recíproca do tempo) e t o tempo no mesmo sistema de unidades de k.

Passo 4

Converter tempo para a mesma unidade de k e preparar os valores para substituir.
O valor de k está em \mathrm{s}^{-1}, então convertemos t=15 minutos para segundos:
t = 15\\ \text{min} = 15\times 60\\ \text{s} = 900\\ \text{s}.
Agora calculamos kt:
kt = (3{,}4\\ \mathrm{s}^{-1})\times(900\\ \mathrm{s}) = 3{,}4\times 900 = 3060.

Passo 5

Substituir na equação integrada e ver o resultado exato simbólico.
Usando
[A]_t = [A]_0\,e^{-kt}
temos
\big[\mathrm{N}_2\mathrm{O}\big]_{t=15\\ \text{min}} = 0{,}20\,e^{-3060}\\ \mathrm{mol}\,\mathrm{L}^{-1}.
Isto é a expressão exata. Agora interpretamos o fator exponencial: e^{-3060} é um número astronomicamente pequeno.

Passo 6

Avaliação do tamanho do número e conclusão prática (como fazer sem calculadora).
Para ter noção da ordem de grandeza, convertemos e^{-3060} para potência de 10 usando \ln(10)\approx 2{,}302585:
e^{-3060} = 10^{-3060/\ln(10)} \approx 10^{-3060/2{,}302585} \approx 10^{-1329{,}2}.
Multiplicando por 0{,}20 = 2{,}0\times 10^{-1} obtemos aproximadamente
\big[\mathrm{N}_2\mathrm{O}\big] \approx 2{,}0\times 10^{-1}\times 10^{-1329{,}2} \approx 2{,}0\times 10^{-1330{,}2}\\ \mathrm{mol}\,\mathrm{L}^{-1},
ou seja, aproximadamente 10^{-1330}\\ \mathrm{mol}\,\mathrm{L}^{-1}. Na prática experimental e para qualquer cálculo de laboratório isso é indistinguível de zero: todo o \mathrm{N}_2\mathrm{O} foi consumido dentro da precisão mensurável.

Resposta

\big[\mathrm{N}_2\mathrm{O}\big]_{15\\ \text{min}} = 0{,}20\,e^{-3060}\\ \mathrm{mol}\,\mathrm{L}^{-1}\approx 0\\ \mathrm{mol}\,\mathrm{L}^{-1}

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