A seguinte reação reversível elementar ocorre em fase gasosa em um reator tubular operado de modo adiabático.
A alimentação contém apenas A e B em proporções estequiométricas a
e
. A vazão molar de A é
.
a) Calcule a conversão de equilíbrio nessas condições.
b) Calcule o volume do PFR necessário para obter
da conversão de equilíbrio.
Dados adicionais:
Energia de ativação da reação direta:
Velocidade específica da reação direta:
Parâmetros termodinâmicos a
:
a) Calcule a conversão de equilíbrio nessas condições.
b) Calcule o volume do PFR necessário para obter
Energia de ativação da reação direta:
Velocidade específica da reação direta:
Parâmetros termodinâmicos a
Passo 1
O enunciado dá uma reação gasosa elementar reversível
e pede duas coisas:
- (a) A conversão de equilíbrio sob as condições de alimentação: pressão total
e temperatura inicial . A alimentação contém apenas e em proporções estequiométricas, com vazão molar de igual a . - (b) O volume de um reator tubular de fluxo pistão (PFR) operado adiabaticamente necessário para alcançar
da conversão de equilíbrio calculada no item (a).
Dados fornecidos relevantes (reorganizados):
- Entalpias padrão a
( ): - Capacidades caloríficas (constantes)
- Foi dado um valor textual ambíguo que vou interpretar como sendo o valor de equilíbrio a
: . (Interpreto assim porque o enunciado mostra um número associado a .) - Energia de ativação da reação direta:
- Constante de velocidade da directa em
: . -
- Constante dos gases:
Observações (importantes para a resolução posterior):
- A estequiometria dá
, o que simplifica relações entre e e elimina fatores de . - As
dadas levam a , o que simplifica dependência térmica de e do balanço de energia adiabático.
Passo 2
Vamos calcular a constante de equilíbrio na temperatura da alimentação
. Para isso usamos a relação integrada de van’t Hoff assumindo
constante (o que é válido aqui porque
):
- Calcular
da reação (a , mas como vale para todas as T):
- Usar a forma integrada de van’t Hoff (para passar de
a ):
Aqui
,
.
Calculemos numericamente:
Observação de interpretação: por causa de
, não precisamos distinguir entre
e
numericamente — podemos usar
diretamente nas expressões de concentração/pressão.
Passo 3
Determinar a conversão de equilíbrio
usando a expressão do equilíbrio para misturas estequiométricas.
Montagem dos balanços molares (base por unidade de tempo, com
):
-
-
-
Total molar(constante).
Frações molares:
Pressões parciais:
.
A expressão de
para a reação é
Assim
Substituindo
:
Portanto a conversão de equilíbrio nas condições dadas é aproximadamente
.
Passo 4
Agora vamos calcular o volume do PFR necessário para atingir
da conversão de equilíbrio. Primeiro definimos o objetivo:
Precisamos das equações de balanço de material e de energia para obter a taxa de reação
ao longo do reator (nota: reator adiabático implica
varia com
).
- Balanço de energia adiabático (Steady-state, sem troca de calor): variação de entalpia da corrente = calor liberado pela reação.
Em forma integrada por unidade de tempo:
Por mole de
convertido por segundo, o avanço é
. Substituindo
e
:
Cancelando
e usando os valores numéricos:
Portanto o denominador é constante
e
Como
,
Isto é uma fórmula simples e muito útil: a temperatura cresce linearmente com a conversão devido a
.
Verificação: para
,
.
Passo 5
Equação de taxa para reação elementar reversível e dependência com
.
Para reação elementar:
Como a reação é elementar, a relação de equilíbrio dá
, logo podemos escrever
Concentrações (gás ideal):
Com as frações molares já dadas,
Logo
Assim o termo entre parênteses factoriza
e obtemos
Agora as dependências em
:
- Constante de velocidade direta via Arrhenius. Primeiro convertemos
para SI:
Usando a forma de Arrhenius que “desloca” a partir de
:
Com
.
- A constante
obtemos por van’t Hoff (como no Passo 2):
lembrando
.
Passo 6
Balanço de material no PFR e integral do volume.
Para PFR em regime estacionário:
com
e
(porque
definido positivo para avanço direto). Assim
Integramos de
a
:
Substituímos
explicitado:
Agora vamos avaliar numericamente essa integral. Para isso precisamos de expressões já definidas:
-
. - Fórmulas numéricas para
e (ver Passo 5). - Constantes numéricas já dadas:
Passo 7
Avaliação numérica (integração) — método e cálculo.
Método: integramos numericamente por Simpson (número par de subintervalos). Usei
subintervalos uniformes no intervalo
com
. Em cada nó calculei:
-
, -
por Arrhenius com , -
por van’t Hoff com , - fator
, - bracket
, -
e então .
Para não alongar demasiadamente com dezenas de linhas, resumo os pontos-chave numéricos obtidos (alguns valores representativos dos nós usados na regra de Simpson):
- Conversões de nó:
. - Em
: , , , . - Em
: , , , . - Em
: , , , . - Em
: , , , . - Em
: , , , .
Usando Simpson com esses e os demais valores calculados, a integral numérica deu aproximadamente
Multiplicando por
,
Arredondando de forma prática, o volume do PFR necessário é aproximadamente
(ou
) para alcançar
da conversão de equilíbrio calculada.