Quais das seguintes assertivas não está correta sobre uma Transformação Linear.
Se T é bijetiva então Ker(T)=0
24. Seja T: R^2 R^3 tal que T(1,-1)= (1,2,3), T(1,0)=(-1,1,0). Nessas condições, |T(0,-1)| é?
a) raiz5
b) raiz7
c) 3
d) raiz13
e) raiz14

Passo 1

O enunciado traz duas partes:
Uma afirmação genérica sobre transformações lineares: “Se é bijetiva então ”.
Um exercício específico () em que é definido por
e pede-se .
Para resolver vamos usar:
  • Propriedade de injetividade/bijetividade e núcleo de uma transformação linear.
  • Linearidade para estender a qualquer vetor de .
  • Cálculo de norma em .

Passo 2

Analisando a afirmação “Se T é bijetiva então ker(T)=0”:
  • Bijetiva implica injetiva.
  • Para transformações lineares, injetividade é equivalente a ter núcleo trivial, isto é ker(T)=0.
    Logo a assertiva é verdadeira, portanto não há nenhuma assertiva incorreta nessa lista.

Passo 3

Verificamos que (1,-1),(1,0) é uma base de R^2 pois a matriz formada por essas colunas tem determinante
det1&1-1&0 =1cdot0 - 1cdot(-1)=1neq0

Passo 4

Expressamos (0,-1) nessa base:
(0,-1)=a,(1,-1)+b,(1,0)
resolve-se
a+b=0, -,a= -1 ;Longrightarrow; a=1,;b=-1

Passo 5

Pela linearidade,
T(0,-1)=Tl(1cdot(1,-1)+(-1)cdot(1,0)r) =T(1,-1)-T(1,0) =(1,2,3)-(-1,1,0) =(2,1,3)

Passo 6

Calculamos a norma em R^3:
lvert T(0,-1)rvert =raiz2^2+1^2+3^2 =raiz4+1+9 =raiz14

Resposta

A assertiva “Se T é bijetiva então ker(T)=0” é verdadeira, logo não há assertiva incorreta.
Para o item 24, lvert T(0,-1)rvert=raiz14 (alternativa (e)).

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