Quais das seguintes assertivas não está correta sobre uma Transformação Linear.
Se
é um operador Linear e
é base de
então
é base.
Se
Passo 1
O enunciado diz que temos um operador linear
e uma base
de
. A afirmação em questão é: “se
é linear e
é base de
, então
é base de
”. O conteúdo aqui envolve noções de base, geração, independência linear e propriedades de transformações lineares (especialmente injetividade e sobrejetividade).
Passo 2
Para que um conjunto de vetores seja base de , ou seja, seu span é todo
,}\ (ii) ser linearmente independente. \end{cases}]
Quando aplicamos
a uma base
, o conjunto
gera na melhor das hipóteses a imagem
. Logo, para gerar todo
, precisamos que
, isto é,
seja sobrejetora. Além disso, para manter a independência linear, precisamos que
seja injetora.
Passo 3
Concluímos, portanto, que
será base de
somente se
for bijetora (isomorfismo). Se
falhar em ser injetora ou sobrejetora,
não poderá ser base de
.
Passo 4
Como exemplo concreto de contradição, considere
, a base padrão
e a projeção
. Aqui
é linear mas não injetora nem sobrejetora. Temos
que não é base pois não gera todo
nem é linearmente independente.
Resposta
A assertiva “se
é um operador linear e
é base de
, então
é base” não está correta, pois falta exigir que
seja bijetora (injetora e sobrejetora).