Quais das seguintes assertivas não está correta sobre uma Transformação Linear.
Se T é um operador Linear e A é base de V então T(A) é base.

Passo 1

O enunciado diz que temos um operador linear T:Vto V e uma base A de V. A afirmação em questão é: “se T é linear e A é base de V, então T(A) é base de V”. O conteúdo aqui envolve noções de base, geração, independência linear e propriedades de transformações lineares (especialmente injetividade e sobrejetividade).

Passo 2

Para que um conjunto de vetores seja base de , ou seja, seu span é todo ,}\ (ii) ser linearmente independente. \end{cases}]
Quando aplicamos a uma base , o conjunto gera na melhor das hipóteses a imagem . Logo, para gerar todo , precisamos que , isto é, seja sobrejetora. Além disso, para manter a independência linear, precisamos que seja injetora.

Passo 3

Concluímos, portanto, que T(A) será base de V somente se T for bijetora (isomorfismo). Se T falhar em ser injetora ou sobrejetora, T(A) não poderá ser base de V.

Passo 4

Como exemplo concreto de contradição, considere V=R^2, a base padrão A=(1,0),(0,1) e a projeção T(x,y)=(x,0). Aqui T é linear mas não injetora nem sobrejetora. Temos
T(A)=,T(1,0),,T(0,1)=(1,0),(0,0),
que não é base pois não gera todo R^2 nem é linearmente independente.

Resposta

A assertiva “se T é um operador linear e A é base de V, então T(A) é base” não está correta, pois falta exigir que T seja bijetora (injetora e sobrejetora).

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