Nos seguintes casos determine se o conjunto de vetores é um sub-espaço vetorial do espaço vetorial , dando a justificativa correta.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema nos pede para verificar se um conjunto lx y z de vetores é um subespaço vetorial do espaço . Aqui, é definido por todos os vetores em onde . Para resolver isso, precisamos entender o que é um subespaço vetorial e quais condições ele deve satisfazer.
Passo 2
Primeiro, um subespaço vetorial precisa atender a três condições principais:
Contém o vetor zero: O vetor l0 0 0 deve estar em .
Fechado sob adição: Se dois vetores estão em , a soma deles também deve estar em .
Fechado sob multiplicação por escalar: Se um vetor está em , qualquer múltiplo escalar dele também deve estar em .
Vamos verificar cada uma dessas condições para o conjunto .
Passo 3
1. Contém o vetor zero:
Vamos verificar se o vetor zero está em [l0 0 0] :
Aqui, e , então é verdadeiro. Portanto, o vetor zero está em .
Passo 4
2. Fechado sob adição:
Vamos pegar dois vetores quaisquer em [lx1 y1 z1] e [lx2 y2 z2] :
[lx1 + x2 y1 + y2 z1 + z2]
Como x1 + x2 = z1 + z2 e , vamos somar esses vetores:
Agora, verifique se . Como e , então:
Portanto, a soma também está em .
Passo 5
3. Fechado sob multiplicação por escalar:
Pegue um vetor qualquer em c cdot [lx y z] = [lc x c y c z] e um escalar c x = c z :
Como , temos:
Portanto, ainda satisfaz , então o vetor resultante também está em .
Resposta
Sim, o conjunto é um subespaço vetorial de , pois contém o vetor zero, é fechado sob adição e multiplicação por escalar.