Nos seguintes casos determine se o conjunto W de vetores é um sub-espaço vetorial do espaço vetorial V, dando a justificativa correta.
V=R^3, W=[lx y z] in R^3 rvert, x=z

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema nos pede para verificar se um conjunto lx y z de vetores é um subespaço vetorial do espaço . Aqui, é definido por todos os vetores em onde . Para resolver isso, precisamos entender o que é um subespaço vetorial e quais condições ele deve satisfazer.

Passo 2

Primeiro, um subespaço vetorial precisa atender a três condições principais:
  1. Contém o vetor zero: O vetor l0 0 0 deve estar em .
  2. Fechado sob adição: Se dois vetores estão em , a soma deles também deve estar em .
  3. Fechado sob multiplicação por escalar: Se um vetor está em , qualquer múltiplo escalar dele também deve estar em .
Vamos verificar cada uma dessas condições para o conjunto .

Passo 3

1. Contém o vetor zero:
Vamos verificar se o vetor zero está em [l0 0 0] :
Aqui, e , então é verdadeiro. Portanto, o vetor zero está em .

Passo 4

2. Fechado sob adição:
Vamos pegar dois vetores quaisquer em [lx1 y1 z1] e [lx2 y2 z2] :
[lx1 + x2 y1 + y2 z1 + z2]
Como x1 + x2 = z1 + z2 e , vamos somar esses vetores:
Agora, verifique se . Como e , então:
Portanto, a soma também está em .

Passo 5

3. Fechado sob multiplicação por escalar:
Pegue um vetor qualquer em c cdot [lx y z] = [lc x c y c z] e um escalar c x = c z :
Como , temos:
Portanto, ainda satisfaz , então o vetor resultante também está em .

Resposta

Sim, o conjunto é um subespaço vetorial de , pois contém o vetor zero, é fechado sob adição e multiplicação por escalar.

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