Nos seguintes casos determine se o conjunto W de vetores é um sub-espaço vetorial do espaço vetorial V, dando a justificativa correta.
V=R^3, W=[lx y z] in R^3 rvert, x <= y <= z

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos o espaço vetorial x y z , que é o conjunto de todos os vetores tridimensionais com componentes reais. O conjunto é definido como todos os vetores em que satisfazem a condição .
Vamos precisar verificar se é um subespaço vetorial de . Para isso, devemos lembrar que, para ser um subespaço, ele deve satisfazer três condições:
  1. Contém o vetor zero.
  2. Fechado sob adição.
  3. Fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Verificando se 0 0 0 contém o vetor zero:
O vetor zero em é .
Vamos checar se ele satisfaz :
  • é verdadeiro.
Então, o vetor zero está em .

Passo 3

Verificando se x1 y1 z1 é fechado sob adição:
Vamos pegar dois vetores quaisquer em x2 y2 z2 :
x1 + x2 y1 + y2 z1 + z2 e ,
onde e .
Somando esses vetores:
.
Precisamos verificar se:
.
Como e , somando essas desigualdades temos .
Analogamente, e implicam .
Portanto, é fechado sob adição.

Passo 4

Verificando se x y z é fechado sob multiplicação por escalar:
Vamos pegar um vetor em kx ky kz , com , e um escalar qualquer .
Multiplicando o vetor por :
.
Precisamos que .
Agora, vamos considerar diferentes casos para :
  1. Se :
    • As desigualdades se mantêm após a multiplicação por .
    • Então, .
  2. Se :
    • O vetor resultante é o vetor zero, que já vimos que está em .
  3. Se :
    • As desigualdades invertem.
    • Em vez de , teríamos , o que não satisfaz a condição original de .
Como para , a condição não é mantida, não é fechado sob multiplicação por escalar.

Resposta

O conjunto não é um subespaço vetorial de porque não é fechado sob multiplicação por escalar.

Exercícios relacionados