Nos seguintes casos determine se o conjunto de vetores é um sub-espaço vetorial do espaço vetorial , dando a justificativa correta.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos o espaço vetorial x y z , que é o conjunto de todos os vetores tridimensionais com componentes reais. O conjunto é definido como todos os vetores em que satisfazem a condição .
Vamos precisar verificar se é um subespaço vetorial de . Para isso, devemos lembrar que, para ser um subespaço, ele deve satisfazer três condições:
Contém o vetor zero.
Fechado sob adição.
Fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Verificando se 0 0 0 contém o vetor zero:
O vetor zero em é .
Vamos checar se ele satisfaz :
é verdadeiro.
Então, o vetor zero está em .
Passo 3
Verificando se x1 y1 z1 é fechado sob adição:
Vamos pegar dois vetores quaisquer em x2 y2 z2 : x1 + x2 y1 + y2 z1 + z2 e ,
onde e .
Somando esses vetores: .
Precisamos verificar se: .
Como e , somando essas desigualdades temos .
Analogamente, e implicam .
Portanto, é fechado sob adição.
Passo 4
Verificando se x y z é fechado sob multiplicação por escalar:
Vamos pegar um vetor em kx ky kz , com , e um escalar qualquer .
Multiplicando o vetor por : .
Precisamos que .
Agora, vamos considerar diferentes casos para :
Se :
As desigualdades se mantêm após a multiplicação por .
Então, .
Se :
O vetor resultante é o vetor zero, que já vimos que está em .
Se :
As desigualdades invertem.
Em vez de , teríamos , o que não satisfaz a condição original de .
Como para , a condição não é mantida, não é fechado sob multiplicação por escalar.
Resposta
O conjunto não é um subespaço vetorial de porque não é fechado sob multiplicação por escalar.