As seguintes cinco matrizes são matrizes de coeficientes de sistemas de equações lineares. Para cada matriz, o que você pode dizer sobre o número de soluções no sistema correspondente: (i) quando o lado direito é
, e (ii) para um lado direito geral
? Justifique suas respostas. Para responder as questões a seguir, represente os últimos cinco algarismos do seu número de matrícula por
e
. Por exemplo, se o seu número de matrícula é 123456789, então
e
.
Passo 1
O enunciado apresenta a matriz de coeficientes
de um sistema linear em
incógnitas e
equações. Precisamos dizer, segundo duas situações, quantas soluções o sistema
possui:
- Para o caso homogêneo
. - Para um vetor-lado direito geral
.
O que vai determinar o número de soluções é o posto (rank) de
, isto é, se as linhas de
são ou não linearmente independentes.
Passo 2
Calculemos o posto de
. As duas linhas são
e
.
Há dois casos:
Há dois casos:
Caso A: linhas independentes.
Não existe escalar tal que
Não existe escalar
Então as linhas são independentes e
Caso B: linhas dependentes.
Existe tal que
Existe
ou seja,
Nesse caso
Passo 3
Analisemos as soluções em cada caso:
Caso A ([\rank(M)=2)):
– Teorema da dimensão do núcleo: .
– Teorema da dimensão do núcleo:
- Homogêneo
: sempre há a solução trivial e, como , há infinitas soluções não-triviais. - Geral
qualquer : como ocupa toda , o sistema é sempre compatível. E, de novo, há infinitas soluções pois o núcleo tem dimensão 1.
Caso B (
):
– .
–
- Homogêneo: a dimensão do núcleo é 2, logo infinitas soluções.
- Geral: as duas equações são múltiplas uma da outra, digamos
. Então do sistema decorre que é necessário para haver soluções.
– Se , resta uma única equação efetiva em 3 incógnitas, gerandoe, portanto, infinitas soluções.
Resposta
– Se
não é múltiplo de
, então
e o sistema tem infinitas soluções, tanto no caso homogêneo quanto para qualquer
.
– Se para algum
, então
:
– Se
- Homogêneo
infinitas soluções. - Geral
compatível com infinitas soluções se e somente se ; caso contrário, é incompatível.