As seguintes cinco matrizes são matrizes de coeficientes de sistemas de equações lineares. Para cada matriz, o que você pode dizer sobre o número de soluções no sistema correspondente: (i) quando o lado direito é b_{1}=\ldots=b_{m}=0, e (ii) para um lado direito geral b_{1}, \ldots, b_{m} ? Justifique suas respostas. Para responder as questões a seguir, represente os últimos cinco algarismos do seu número de matrícula por A, B, C, D e E. Por exemplo, se o seu número de matrícula é 123456789, então A=9, B=8, C=7, D=6 e E=5.
\left[\begin{array}{ccc}3 & 2 & 3 \\\ A & B & C\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado apresenta a matriz de coeficientes
M = \begin{pmatrix}3 & 2 & 3\\\ A & B & C\end{pmatrix}
de um sistema linear em 3 incógnitas e 2 equações. Precisamos dizer, segundo duas situações, quantas soluções o sistema
M x = b
possui:
  1. Para o caso homogêneo b=(0,0)^T.
  2. Para um vetor-lado direito geral b=(b_1,b_2)^T.
O que vai determinar o número de soluções é o posto (rank) de M, isto é, se as linhas de M são ou não linearmente independentes.

Passo 2

Calculemos o posto de M. As duas linhas são
\ell_1=(3,2,3) e \ell_2=(A,B,C).
Há dois casos:
Caso A: linhas independentes.
Não existe escalar k tal que
(A,B,C)=k\,(3,2,3).
Então as linhas são independentes e
\rank(M)=2.
Caso B: linhas dependentes.
Existe k\in\mathbb{R} tal que
(A,B,C)=k\,(3,2,3),
ou seja,
A=3k,\quad B=2k,\quad C=3k.
Nesse caso
\rank(M)=1.

Passo 3

Analisemos as soluções em cada caso:
Caso A ([\rank(M)=2)):
– Teorema da dimensão do núcleo: \dim\ker(M)=3-2=1.
  • Homogêneo (b=0): sempre há a solução trivial e, como \dim\ker(M)=1>0, há infinitas soluções não-triviais.
  • Geral (b qualquer ): como \rank(M)=2 ocupa toda \mathbb{R}^2, o sistema é sempre compatível. E, de novo, há infinitas soluções pois o núcleo tem dimensão 1.
Caso B ( \rank(M)=1):
\dim\ker(M)=3-1=2.
  • Homogêneo: a dimensão do núcleo é 2, logo infinitas soluções.
  • Geral: as duas equações são múltiplas uma da outra, digamos
    \ell_2=k\,\ell_1. Então do sistema \begin{cases} 3x_1+2x_2+3x_3 = b_1,\\\ k\,(3x_1+2x_2+3x_3) = b_2, \end{cases}decorre que é necessário b_2 = k\,b_1para haver soluções.
    – Se b_2\neq k\,b_1\], não há solução. – Se \(b_2= k\,b_1, resta uma única equação efetiva em 3 incógnitas, gerando \dim\ker=2 e, portanto, infinitas soluções.

Resposta

– Se (A,B,C) não é múltiplo de (3,2,3), então \rank(M)=2 e o sistema tem infinitas soluções, tanto no caso homogêneo quanto para qualquer b.
– Se (A,B,C)=k\,(3,2,3) para algum k, então \rank(M)=1:
  1. Homogêneo \;\Rightarrow infinitas soluções.
  2. Geral \;\Rightarrow compatível com infinitas soluções se e somente se b_2=k\,b_1; caso contrário, é incompatível.

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