Seja T: V_{2}(\mathbb{R}) \rightarrow V_{2}(\mathbb{R}), T\left(u_{1}, u_{2}\right)=\left(u_{1}+u_{2}, u_{1}+u_{2}\right).
3.1 Determine os autovalores de T
3.2 Determine os autovetores de T
3.3 Determine uma base de V_{2}(\mathbb{R}) onde a representação matricial de T seja uma matriz diagonal.

Passo 1

O enunciado define a transformação linear T:V_{2}(\mathbb{R})\to V_{2}(\mathbb{R}) por
T(u_{1},u_{2}) = (u_{1}+u_{2},\,u_{1}+u_{2}),
e pede:
\bullet 3.1 os autovalores de T.
\bullet 3.2 os autovetores de T.
\bullet 3.3 uma base de V_{2}(\mathbb{R}) em que a matriz de T seja diagonal.
Vamos usar o polinômio característico e a teoria de diagonalização em \mathbb{R}^2.

Passo 2

Na base canônica \{e_1,e_2\} de \mathbb{R}^2 temos
T(e_1)=T(1,0)=(1,1),\quad T(e_2)=T(0,1)=(1,1).
Portanto a matriz de T nessa base é
A = \begin{pmatrix} 1 & 1\\\\ 1 & 1 \end{pmatrix}.

Passo 3

Os autovalores vêm de
\det(A-\lambda I) =\det\!\begin{pmatrix}1-\lambda&1\\\ 1&1-\lambda\end{pmatrix} =(1-\lambda)^2-1 =\lambda(\lambda-2).
As raízes são \lambda=0 e \lambda=2.

Passo 4

Para cada \lambda encontramos os autovetores:
— Para \lambda=2:
(A-2I)v=0 \iff \begin{pmatrix}-1&1\\\ 1&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}v_1\v_2\end{pmatrix}=0 \implies v_2=v_1.
Então os autovetores são múltiplos de (1,1).
— Para \lambda=0:
Av=0 \iff \begin{pmatrix}1&1\\\ 1&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}v_1\v_2\end{pmatrix}=0 \implies v_1+v_2=0\implies v_2=-v_1.
Então os autovetores são múltiplos de (1,-1).

Passo 5

Os vetores (1,1) e (1,-1) são linearmente independentes e formam uma base de \mathbb{R}^2. Nessa base de autovetores, a matriz de T é diagonal com entradas os autovalores, ou seja,
\begin{pmatrix} 2 & 0\\\\ 0 & 0 \end{pmatrix}.

Resposta

3.1 Os autovalores são \lambda_{1}=0 e \lambda_{2}=2.
3.2 Os autovetores são (1,1) para \lambda=2 e (1,-1) para \lambda=0.
3.3 Uma base que diagonaliza T é \{(1,1),\,(1,-1)\}, em que a matriz de T fica \mathrm{diag}(2,0).

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