Seja T: V_{2}(\mathbb{R}) \rightarrow V_{2}(\mathbb{R}), T\left(u_{1}, u_{2}\right)=\left(u_{1}+u_{2}, u_{1}+u_{2}\right).
3.1 Determine os autovalores de T
3.2 Determine os autovetores de T
3.3 Determine uma base de V_{2}(\mathbb{R}) onde a representação matricial de T seja uma matriz diagonal.
Passo 1
O enunciado define a transformação linear T:V_{2}(\mathbb{R})\to V_{2}(\mathbb{R}) por
T(u_{1},u_{2}) = (u_{1}+u_{2},\,u_{1}+u_{2}),
e pede: \bullet 3.1 os autovalores de T. \bullet 3.2 os autovetores de T. \bullet 3.3 uma base de V_{2}(\mathbb{R}) em que a matriz de T seja diagonal.
Vamos usar o polinômio característico e a teoria de diagonalização em \mathbb{R}^2.
Passo 2
Na base canônica \{e_1,e_2\} de \mathbb{R}^2 temos
T(e_1)=T(1,0)=(1,1),\quad T(e_2)=T(0,1)=(1,1).
Portanto a matriz de T nessa base é
A = \begin{pmatrix} 1 & 1\\\\ 1 & 1 \end{pmatrix}.
Os vetores (1,1) e (1,-1) são linearmente independentes e formam uma base de \mathbb{R}^2. Nessa base de autovetores, a matriz de T é diagonal com entradas os autovalores, ou seja,
\begin{pmatrix} 2 & 0\\\\ 0 & 0 \end{pmatrix}.
Resposta
3.1 Os autovalores são \lambda_{1}=0 e \lambda_{2}=2. 3.2 Os autovetores são (1,1) para \lambda=2 e (1,-1) para \lambda=0. 3.3 Uma base que diagonaliza T é \{(1,1),\,(1,-1)\}, em que a matriz de T fica \mathrm{diag}(2,0).