Seja T: V_{2}(\mathbb{R}) \rightarrow V_{2}(\mathbb{R}), T\left(u_{1}, u_{2}\right)=\left(u_{1}+4 u_{2}, u_{1}+u_{2}\right).
4.1 Determine os autovalores de T
4.2 Determine os autovetores de T
4.3 Determine uma base de V_{2}(\mathbb{R}) onde a representação matricial de T seja uma matriz diagonal.

Passo 1

O enunciado define a aplicação linear
T\colon V_{2}(\mathbb{R})\to V_{2}(\mathbb{R}),\quad T(u_{1},u_{2})=(u_{1}+4u_{2},\,u_{1}+u_{2})
e pede:
4.1 os autovalores de T,
4.2 os autovetores de T,
4.3 uma base que torne a matriz de T diagonal.
O conteúdo principal é encontrar espectro e autovetores de uma matriz 2\times2 e escolher a base de autovetores.

Passo 2

Vamos escrever a matriz de T na base canônica \{(1,0),(0,1)\}.
Para (1,0) temos
T(1,0) = (1+4\cdot0,\;1+0) = (1,1),
e para (0,1)
T(0,1) = (0+4\cdot1,\;0+1) = (4,1).
Logo a matriz é
A = \begin{pmatrix} 1 & 4\\\\ 1 & 1 \end{pmatrix}.

Passo 3

Calculamos o polinômio característico \chi(\lambda)=\det(A-\lambda I).
A-\lambda I = \begin{pmatrix} 1-\lambda & 4\\\\ 1 & 1-\lambda \end{pmatrix} \quad\Longrightarrow\quad \chi(\lambda) = (1-\lambda)^2 - 4\cdot1.
Em expansão,
\chi(\lambda) = (1-\lambda)^2 - 4 = \lambda^2 - 2\lambda -3.
Resolvendo \lambda^2 -2\lambda -3=0 pela fórmula de Bhaskara,
\lambda = \frac{2\pm\sqrt{4+12}}{2} = \frac{2\pm4}{2},
obtemos os autovalores
\lambda_{1}=3, \qquad \lambda_{2}=-1.

Passo 4

Para cada autovalor resolvemos (A-\lambda I)v=0.
Caso \lambda_{1}=3:
A-3I = \begin{pmatrix}-2 & 4\\\ 1 & -2\end{pmatrix},
da primeira linha vem -2v_{1}+4v_{2}=0, logo v_{1}=2v_{2}.
Um autovetor associado é
v^{(1)} = \begin{pmatrix}2\\\ 1\end{pmatrix}.
Caso \lambda_{2}=-1:
A-(-1)I = A+I = \begin{pmatrix}2 & 4\\\ 1 & 2\end{pmatrix},
da primeira linha 2v_{1}+4v_{2}=0 v_{1}=-2v_{2}.
Um autovetor é
v^{(2)} = \begin{pmatrix}-2\\\ 1\end{pmatrix}.

Passo 5

Os vetores v^{(1)}=(2,1) e v^{(2)}=(-2,1) são linearmente independentes, logo formam uma base de \mathbb{R}^{2}. Nesta base de autovetores a representação de T é diagonal com entradas 3 e -1:
[T]_{\{v^{(1)},v^{(2)}\}} = \begin{pmatrix}3 & 0\\\ 0 & -1\end{pmatrix}.

Resposta

4.1 Os autovalores são \lambda_{1}=3 e \lambda_{2}=-1.
4.2 Os autovetores podem ser escolhidos como
v^{(1)} = \begin{pmatrix}2\\\ 1\end{pmatrix} \quad\text{para }\lambda_{1}=3, \qquad v^{(2)} = \begin{pmatrix}-2\\\ 1\end{pmatrix} \quad\text{para }\lambda_{2}=-1.
4.3 A base que diagonaliza T é \{(2,1),\,(-2,1)\}, em que a matriz de T fica \mathrm{diag}(3,-1).

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