Seja T: V_{2}(\mathbb{R}) \rightarrow V_{2}(\mathbb{R}), T\left(u_{1}, u_{2}\right)=\left(u_{1}+4 u_{2}, u_{1}+u_{2}\right).
4.1 Determine os autovalores de T
4.2 Determine os autovetores de T
4.3 Determine uma base de V_{2}(\mathbb{R}) onde a representação matricial de T seja uma matriz diagonal.
e pede:
4.1 os autovalores de T,
4.2 os autovetores de T,
4.3 uma base que torne a matriz de T diagonal.
O conteúdo principal é encontrar espectro e autovetores de uma matriz 2\times2 e escolher a base de autovetores.
Passo 2
Vamos escrever a matriz de T na base canônica \{(1,0),(0,1)\}.
Para (1,0) temos
T(1,0) = (1+4\cdot0,\;1+0) = (1,1),
e para (0,1)
T(0,1) = (0+4\cdot1,\;0+1) = (4,1).
Logo a matriz é
A = \begin{pmatrix} 1 & 4\\\\ 1 & 1 \end{pmatrix}.
Passo 3
Calculamos o polinômio característico \chi(\lambda)=\det(A-\lambda I).
da primeira linha 2v_{1}+4v_{2}=0 dá v_{1}=-2v_{2}.
Um autovetor é
v^{(2)} = \begin{pmatrix}-2\\\ 1\end{pmatrix}.
Passo 5
Os vetores v^{(1)}=(2,1) e v^{(2)}=(-2,1) são linearmente independentes, logo formam uma base de \mathbb{R}^{2}. Nesta base de autovetores a representação de T é diagonal com entradas 3 e -1: