As seguintes cinco matrizes são matrizes de coeficientes de sistemas de equações lineares. Para cada matriz, o que você pode dizer sobre o número de soluções no sistema correspondente: (i) quando o lado direito é b_{1}=\ldots=b_{m}=0, e (ii) para um lado direito geral b_{1}, \ldots, b_{m} ? Justifique suas respostas. Para responder as questões a seguir, represente os últimos cinco algarismos do seu número de matrícula por A, B, C, D e E. Por exemplo, se o seu número de matrícula é 123456789, então A=9, B=8, C=7, D=6 e E=5.
\left[\begin{array}{ccc}B & 1 & 4 \\\ A & B & C\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz de coeficientes
A_{\text{coef}} = \begin{pmatrix} B & 1 & 4\\\ A & B & C \end{pmatrix},
onde A,B,C são dígitos do número de matrícula. Queremos saber, para o sistema A_{\text{coef}}\,x=b com x\in\mathbb{R}^3 e b\in\mathbb{R}^2:
1. No caso homogêneo ( b=(0,0)), quantas soluções existem?
2. No caso geral ( b qualquer), quantas soluções existem e quando elas existem?
Vamos usar as ideias de posto (rank), teorema da dimensão (número de variáveis menos posto) e consistência via posto da matriz aumentada.

Passo 2

Determinar o posto de A_{\text{coef}}. Como é 2\times3, o posto pode ser 1 ou 2.
Duas linhas são proporcionais se existir \lambda tal que
(\lambda B,\;\lambda\cdot1,\;\lambda\cdot4) = (A,\;B,\;C).
Da segunda componente vem \lambda = B. Então as demais exigem
A = \lambda B = B^2 \quad\text{e}\quad C = \lambda\cdot4 = 4B.
\bullet Se A = B^2 e C = 4B, então as linhas são dependentes e o posto é 1.
\bullet Caso contrário, são independentes e o posto é 2.

Passo 3

Caso posto =2 (isto é, \lnot(A=B^2\land C=4B)):
  • A dimensão do espaço nulo é 3 - 2 = 1. Logo, no caso homogêneo há infinitas soluções (além da trivial).
  • A imagem de A_{\text{coef}} é de dimensão 2, ou seja, \Im(A_{\text{coef}})=\mathbb{R}^2. Logo, para qualquer b\in\mathbb{R}^2 o sistema é compatível e, como há 3 incógnitas para 2 equações, há infinitas soluções.

Passo 4

Caso posto =1 (isto é, A=B^2 e C=4B):
  • A dimensão do espaço nulo é 3 - 1 = 2. Portanto, no caso homogêneo há infinitas soluções.
  • A imagem de A_{\text{coef}} é uma reta em \mathbb{R}^2, gerada pela primeira linha (B,1,4). O sistema A_{\text{coef}}\,x=b é compatível se e somente se b estiver nessa reta, ou seja, escreva b=(b_1,b_2) e seja \lambda tal que (b_1,b_2)=\lambda(B,1). Equivalente a b_2 = \frac1B\,b_1 \quad\text{(quando \(B\neq0\))}.Nesse caso compatível, há 3-1=2 graus de liberdade e infinitas soluções. Se b não satisfizer essa condição, não há solução (sistema incompatível).

Resposta

Se A\neq B^2 ou C\neq4B:
(a) Homogêneo: infinitas soluções.
(b) Geral: para todo b há infinitas soluções.
Se A=B^2 e C=4B:
(a) Homogêneo: infinitas soluções.
(b) Geral: existem infinitas soluções se b estiver na reta gerada por (B,1), caso contrário não existe solução.

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