As seguintes cinco matrizes são matrizes de coeficientes de sistemas de equações lineares. Para cada matriz, o que você pode dizer sobre o número de soluções no sistema correspondente: (i) quando o lado direito é
, e (ii) para um lado direito geral
? Justifique suas respostas. Para responder as questões a seguir, represente os últimos cinco algarismos do seu número de matrícula por
e
. Por exemplo, se o seu número de matrícula é 123456789, então
e
.
Passo 1
O enunciado nos dá a matriz de coeficientes
onde
são dígitos do número de matrícula. Queremos saber, para o sistema
com
e
:
. No caso homogêneo (
), quantas soluções existem?
. No caso geral (
qualquer), quantas soluções existem e quando elas existem?
Vamos usar as ideias de posto (rank), teorema da dimensão (número de variáveis menos posto) e consistência via posto da matriz aumentada.
Vamos usar as ideias de posto (rank), teorema da dimensão (número de variáveis menos posto) e consistência via posto da matriz aumentada.
Passo 2
Determinar o posto de
. Como é
, o posto pode ser
ou
.
Duas linhas são proporcionais se existir tal que
Duas linhas são proporcionais se existir
Da segunda componente vem
. Então as demais exigem
Passo 3
Caso posto
(isto é,
):
- A dimensão do espaço nulo é
. Logo, no caso homogêneo há infinitas soluções (além da trivial). - A imagem de
é de dimensão , ou seja, . Logo, para qualquer o sistema é compatível e, como há incógnitas para equações, há infinitas soluções.
Passo 4
Caso posto
(isto é,
e
):
- A dimensão do espaço nulo é
. Portanto, no caso homogêneo há infinitas soluções. - A imagem de
é uma reta em , gerada pela primeira linha . O sistema é compatível se e somente se estiver nessa reta, ou seja, escreva e seja tal que . Equivalente a Nesse caso compatível, há graus de liberdade e infinitas soluções. Se não satisfizer essa condição, não há solução (sistema incompatível).
Resposta
Se
ou
:
(a) Homogêneo: infinitas soluções.
(b) Geral: para todo há infinitas soluções.
(a) Homogêneo: infinitas soluções.
(b) Geral: para todo
Se
e
:
(a) Homogêneo: infinitas soluções.
(b) Geral: existem infinitas soluções se estiver na reta gerada por
, caso contrário não existe solução.
(a) Homogêneo: infinitas soluções.
(b) Geral: existem infinitas soluções se