As seguintes cinco matrizes são matrizes de coeficientes de sistemas de equações lineares. Para cada matriz, o que você pode dizer sobre o número de soluções no sistema correspondente: (i) quando o lado direito é
, e (ii) para um lado direito geral
? Justifique suas respostas. Para responder as questões a seguir, represente os últimos cinco algarismos do seu número de matrícula por
e
. Por exemplo, se o seu número de matrícula é 123456789, então
e
.
Passo 1
O enunciado apresenta o sistema linear
cujos coeficientes formam a matriz
e nos pede que, em função dos dígitos
e
, descrevamos (i) o conjunto de soluções do caso homogêneo (
) e (ii) o da versão com termos independentes gerais
. Para isso vamos usar o critério do determinante (inversibilidade) e o Teorema de Rouché–Capelli (consistência via posto).
Passo 2
Calculemos o determinante de
:
Passo 3
Se
, então
e a matriz é invertível.
– (i) No caso homogêneo, a única solução é a trivial .
– (ii) Para qualquer vetor há exatamente uma solução, dada por
– (i) No caso homogêneo, a única solução é a trivial
– (ii) Para qualquer vetor
Passo 4
Se
, então
e as duas linhas de
são proporcionais. Existe
tal que
isto é,
Nesse caso
.
Passo 5
No caso
:
– (i) Para o sistema homogêneo tem um grau de liberdade, logo infinitas soluções não triviais.
– (ii) Pelo Teorema de Rouché–Capelli, o sistema com é consistente se e só se
também satisfaz a mesma proporcionalidade:
– (i) Para
– (ii) Pelo Teorema de Rouché–Capelli, o sistema com
Se essa condição vale, há infinitas soluções (um parâmetro livre); caso contrário, o sistema não tem solução.
Resposta
Se
, então
(i) só a solução trivial no caso homogêneo,
(ii) solução única para qualquer .
Se , então
(i) infinitas soluções no caso homogêneo,
(ii) para gerais há soluções exatamente quando
, e nesse subcaso são infinitas; caso contrário, nenhuma.
(i) só a solução trivial no caso homogêneo,
(ii) solução única para qualquer
Se
(i) infinitas soluções no caso homogêneo,
(ii) para