As seguintes cinco matrizes são matrizes de coeficientes de sistemas de equações lineares. Para cada matriz, o que você pode dizer sobre o número de soluções no sistema correspondente: (i) quando o lado direito é b_{1}=\ldots=b_{m}=0, e (ii) para um lado direito geral b_{1}, \ldots, b_{m} ? Justifique suas respostas. Para responder as questões a seguir, represente os últimos cinco algarismos do seu número de matrícula por A, B, C, D e E. Por exemplo, se o seu número de matrícula é 123456789, então A=9, B=8, C=7, D=6 e E=5.
\left[\begin{array}{cc}3 & 2 \\\ D & E\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado apresenta o sistema linear 2\times 2 cujos coeficientes formam a matriz
M = \begin{pmatrix}3 & 2\\\ D & E\end{pmatrix}
e nos pede que, em função dos dígitos D e E, descrevamos (i) o conjunto de soluções do caso homogêneo ( b_{1}=b_{2}=0) e (ii) o da versão com termos independentes gerais b_{1},b_{2}. Para isso vamos usar o critério do determinante (inversibilidade) e o Teorema de Rouché–Capelli (consistência via posto).

Passo 2

Calculemos o determinante de M:
\det(M) = 3E - 2D.

Passo 3

Se \det(M)\neq 0, então \operatorname{rank}(M)=2 e a matriz é invertível.
– (i) No caso homogêneo, a única solução é a trivial (x,y)=(0,0).
– (ii) Para qualquer vetor (b_{1},b_{2}) há exatamente uma solução, dada por
\begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix} = M^{-1}\begin{pmatrix}b_{1}\b_{2}\end{pmatrix}.

Passo 4

Se \det(M)=0, então 3E=2D e as duas linhas de M são proporcionais. Existe k tal que
(D,E)=k\,(3,2),
isto é,
k = \frac{D}{3} = \frac{E}{2}.
Nesse caso \operatorname{rank}(M)=1.

Passo 5

No caso \det(M)=0:
– (i) Para b_{1}=b_{2}=0 o sistema homogêneo tem um grau de liberdade, logo infinitas soluções não triviais.
– (ii) Pelo Teorema de Rouché–Capelli, o sistema com b_{1},b_{2} é consistente se e só se (b_{1},b_{2}) também satisfaz a mesma proporcionalidade:
b_{2} \;=\; k\,b_{1}\;=\;\frac{D}{3}\,b_{1}.
Se essa condição vale, há infinitas soluções (um parâmetro livre); caso contrário, o sistema não tem solução.

Resposta

Se 3E-2D\neq 0, então
(i) só a solução trivial no caso homogêneo,
(ii) solução única para qualquer (b_{1},b_{2}).
Se 3E-2D=0, então
(i) infinitas soluções no caso homogêneo,
(ii) para (b_{1},b_{2}) gerais há soluções exatamente quando b_{2}=(D/3)\,b_{1}, e nesse subcaso são infinitas; caso contrário, nenhuma.

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