As seguintes cinco matrizes são matrizes de coeficientes de sistemas de equações lineares. Para cada matriz, o que você pode dizer sobre o número de soluções no sistema correspondente: (i) quando o lado direito é b_{1}=\ldots=b_{m}=0, e (ii) para um lado direito geral b_{1}, \ldots, b_{m} ? Justifique suas respostas.
\left[\begin{array}{lll}1 & 4 & 3 \\\\ 3 & 2 & 1\end{array}\right]

Passo 1

Temos a matriz de coeficientes
A = \begin{pmatrix} 1 & 4 & 3\\\\ 3 & 2 & 1 \end{pmatrix},
que define um sistema linear com m=2 equações e n=3 incógnitas. Vamos usar o conceito de posto ( \mathrm{rank}) e o Teorema de Rouché–Capelli para determinar o número de soluções:
  1. (i) caso homogêneo ( b_1=\dots=b_m=0), depende apenas do posto e da dimensão do núcleo de A.
  2. (ii) caso geral ( b arbitrário), depende da consistência ( \mathrm{rank}(A)=\mathrm{rank}([A|b])) e da dimensão do núcleo.

Passo 2

Calcular o posto de A. Tomamos a segunda linha menos 3 vezes a primeira:
(3,2,1) - 3\,(1,4,3) = (0,-10,-8)\neq(0,0,0).
Logo ambas linhas são linearmente independentes e
\mathrm{rank}(A)=2.
Como n=3, a dimensão do núcleo é
\dim\ker(A) = n - \mathrm{rank}(A) = 3 - 2 = 1.

Passo 3

(i) Para o sistema homogêneo A x = 0, a dimensão do espaço de soluções é \dim\ker(A)=1. Isso significa que há infinitas soluções não triviais, de forma paramétrica numa reta de \mathbb R^3.

Passo 4

(ii) Para o sistema geral A x = b, o posto de A é 2, e como \mathrm{rank}(A)\le m=2, a imagem de A é todo \mathbb R^2. Assim, para qualquer b\in\mathbb R^2 temos
\mathrm{rank}([A\mid b])=\mathrm{rank}(A)=2,
ou seja, o sistema é sempre compatível. Além disso, como \dim\ker(A)=1, cada solução particular gera infinitas soluções gerais.

Resposta

(i) No caso homogêneo, existem infinitas soluções (núcleo de dimensão 1).
(ii) Para qualquer vetor b, o sistema é sempre compatível e também possui infinitas soluções.

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