As seguintes cinco matrizes são matrizes de coeficientes de sistemas de equações lineares. Para cada matriz, o que você pode dizer sobre o número de soluções no sistema correspondente: (i) quando o lado direito é b_{1}=\ldots=b_{m}=0, e (ii) para um lado direito geral b_{1}, \ldots, b_{m} ? Justifique suas respostas. \left[\begin{array}{ll}3 & 1 \\\\ 2 & 4 \\\\ 1 & 3\end{array}\right]
de um sistema linear Ax=b, com x\in\mathbb{R}^2 e b\in\mathbb{R}^3. Queremos discutir:
(i) o caso homogêneo \,b=0, e
(ii) o caso geral b arbitrário.
O conteúdo que vamos usar é a teoria de posto de matrizes, espaço nulo e coluna, para determinar existência e número de soluções.
Passo 2
Calculamos o posto de A observando as colunas \,(3,2,1)^{T} e (1,4,3)^{T}. Se existisse \lambda tal que
(3,2,1)^T = \lambda\,(1,4,3)^T
teríamos as igualdades \,3=\lambda, \,2=4\lambda, \,1=3\lambda, o que é impossível (daria \lambda=3, depois \lambda=\tfrac12, etc.). Logo as colunas são independentes e
\mathrm{rank}(A)=2.
Passo 3
Para o sistema homogêneo Ax=0 usamos que o número de incógnitas é n=2 e
\dim\ker(A)=n-\mathrm{rank}(A)=2-2=0.
Isto significa que a única solução é a trivial x=0.
Passo 4
Para o sistema não–homogêneo Ax=b a existência de solução exige que b pertença ao espaço coluna de A, \operatorname{Im}(A). Como
\dim\operatorname{Im}(A)=\mathrm{rank}(A)=2<3,
esse espaço é um plano em \mathbb{R}^3. Portanto:
— Se b\notin\operatorname{Im}(A), não há solução.
— Se b\in\operatorname{Im}(A), há solução e, como o núcleo é trivial, essa solução é única.
Resposta
(i) Para b=0: há solução única (a trivial).
(ii) Para b geral: existe solução se e somente se b\in\operatorname{Im}(A); nesse caso a solução é única. Caso contrário não há solução.