As seguintes cinco matrizes são matrizes de coeficientes de sistemas de equações lineares. Para cada matriz, o que você pode dizer sobre o número de soluções no sistema correspondente: (i) quando o lado direito é b_{1}=\ldots=b_{m}=0, e (ii) para um lado direito geral b_{1}, \ldots, b_{m} ? Justifique suas respostas. \left[\begin{array}{lll}1 & 4 & 3 \\\\ 4 & 2 & 0 \\\\ 0 & 7 & 6\end{array}\right]
e pede o número de soluções do sistema A x = b
(i) no caso homogêneo b=(0,0,0) e
(ii) no caso geral b=(b_{1},b_{2},b_{3}).
O que precisamos saber é o posto de A para decidir se o sistema é compatível e se as soluções são únicas ou infinitas.
Passo 2
Calcular o determinante de A para ver se ela é invertível:
Logo há um menor 2\times2 não-nulo, o que implica r\ge2. Como r<3, concluímos r=2.
Passo 4
Para o sistema homogêneo A x=0 temos sempre compatibilidade e o espaço de soluções tem dimensão
n - r = 3 - 2 = 1.
Portanto há infinitas soluções (um parâmetro livre).
Passo 5
Para o sistema não homogêneo A x=b, a condição de compatibilidade é que b esteja no espaço coluna de A, que tem dimensão 2.
Se b\in\mathrm{Im}(A), o sistema é compatível e, por r=2<3, há infinitas soluções.
Se b\notin\mathrm{Im}(A), o sistema é incompatível e não há nenhuma solução.
Resposta
(i) No caso homogêneo, o sistema admite infinitas soluções.
(ii) No caso geral, existe solução apenas se b pertencer à imagem de A; nesse caso há infinitas soluções, caso contrário o sistema é impossível (nenhuma solução).