As seguintes cinco matrizes são matrizes de coeficientes de sistemas de equações lineares. Para cada matriz, o que você pode dizer sobre o número de soluções no sistema correspondente: (i) quando o lado direito é b_{1}=\ldots=b_{m}=0, e (ii) para um lado direito geral b_{1}, \ldots, b_{m} ? Justifique suas respostas.
\left[\begin{array}{lll}1 & 4 & 3 \\\\ 4 & 2 & 0 \\\\ 0 & 7 & 6\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado dá a matriz de coeficientes
A = \begin{pmatrix} 1 & 4 & 3\\\\ 4 & 2 & 0\\\\ 0 & 7 & 6 \end{pmatrix}
e pede o número de soluções do sistema A x = b
(i) no caso homogêneo b=(0,0,0) e
(ii) no caso geral b=(b_{1},b_{2},b_{3}).
O que precisamos saber é o posto de A para decidir se o sistema é compatível e se as soluções são únicas ou infinitas.

Passo 2

Calcular o determinante de A para ver se ela é invertível:
\det(A) =1\cdot\det\begin{pmatrix}2&0\\\ 7&6\end{pmatrix} -4\cdot\det\begin{pmatrix}4&0\\\ 0&6\end{pmatrix} +3\cdot\det\begin{pmatrix}4&2\\\ 0&7\end{pmatrix} =1\cdot(2\cdot6-0) -4\cdot(4\cdot6-0) +3\cdot(4\cdot7-0) =12-96+84 =0.
Como \det(A)=0, a matriz não é invertível e seu posto r é menor que 3.

Passo 3

Para determinar r, procuramos um menor 2\times2 não-nulo. Por exemplo, usando as duas primeiras linhas e colunas:
\det\begin{pmatrix}1&4\\\ 4&2\end{pmatrix} =1\cdot2-4\cdot4 =-14\neq0.
Logo há um menor 2\times2 não-nulo, o que implica r\ge2. Como r<3, concluímos r=2.

Passo 4

Para o sistema homogêneo A x=0 temos sempre compatibilidade e o espaço de soluções tem dimensão
n - r = 3 - 2 = 1.
Portanto há infinitas soluções (um parâmetro livre).

Passo 5

Para o sistema não homogêneo A x=b, a condição de compatibilidade é que b esteja no espaço coluna de A, que tem dimensão 2.
  • Se b\in\mathrm{Im}(A), o sistema é compatível e, por r=2<3, há infinitas soluções.
  • Se b\notin\mathrm{Im}(A), o sistema é incompatível e não há nenhuma solução.

Resposta

(i) No caso homogêneo, o sistema admite infinitas soluções.
(ii) No caso geral, existe solução apenas se b pertencer à imagem de A; nesse caso há infinitas soluções, caso contrário o sistema é impossível (nenhuma solução).

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