Sejam A e B matrizes de tamanho n \times n. Prove o seguinte:
\left(1,0\right. ponto) Se A^{k+1}=0, então (I-A)\left(I+A+A^{2}+\ldots+A^{k}\right)=I.

Passo 1

O enunciado pede para provar que, para uma matriz quadrada A de ordem n com a propriedade
A^{\,k+1}=0,
vale
(I - A)\,(I + A + A^{2} + \cdots + A^{k}) = I.
O conteúdo que usamos aqui é a noção de série geométrica de matrizes, junto com as propriedades distributiva e associativa do produto de matrizes, e o fato de I ser a matriz identidade.

Passo 2

Definimos
S \;=\; I + A + A^{2} + \cdots + A^{k}.
Então, usando a distributividade do produto de matrizes, temos
(I - A)\,S \;=\; I\cdot S \;-\; A\cdot S \;=\; S \;-\; A\,S.

Passo 3

Agora calculamos A\,S. Como
S = I + A + A^{2} + \cdots + A^{k},
multiplicar à esquerda por A desloca todos os expoentes em uma unidade, logo
A\,S \;=\; A + A^{2} + A^{3} + \cdots + A^{k+1}.

Passo 4

Substituindo em (I - A)\,S = S - A\,S, obtemos
(I - A)\,S = \bigl(I + A + A^{2} + \cdots + A^{k}\bigr) - \bigl(A + A^{2} + \cdots + A^{k+1}\bigr) = I \;-\; A^{k+1}.
Pela hipótese A^{k+1}=0, segue
(I - A)\,S = I - 0 = I.

Resposta

(I - A)\bigl(I + A + A^{2} + \cdots + A^{k}\bigr) = I.

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