Sejam
e
matrizes de tamanho
. Prove o seguinte:
ponto) Se
, então
.
Passo 1
O enunciado pede para provar que, para uma matriz quadrada
de ordem
com a propriedade
vale
O conteúdo que usamos aqui é a noção de série geométrica de matrizes, junto com as propriedades distributiva e associativa do produto de matrizes, e o fato de
ser a matriz identidade.
Passo 2
Definimos
Então, usando a distributividade do produto de matrizes, temos
Passo 3
Agora calculamos
. Como
multiplicar à esquerda por
desloca todos os expoentes em uma unidade, logo
Passo 4
Substituindo em
, obtemos
Pela hipótese
, segue