Quais dos seguintes conjuntos
abaixo são subespaços de
?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se o conjunto
é um subespaço de
. A matéria aqui é álgebra linear, mais especificamente o estudo de subespaços vetoriais. Para resolver isso, vamos precisar lembrar quais são os critérios que definem um subespaço e aplicá-los ao conjunto
.
Passo 2
Primeiro, precisamos verificar se o vetor zero está em
. O vetor zero em
é
. Vamos ver se ele satisfaz a condição
:
Sim, o vetor zero tem
, então ele pertence a
.
Passo 3
Agora, vamos checar se
é fechado sob adição vetorial. Isso significa que, se pegarmos dois vetores quaisquer em
e os somarmos, o resultado também deve estar em
.
Vamos considerar dois vetores em
:
A soma desses vetores é:
Como o primeiro componente da soma é zero,
também está em
. Portanto,
é fechado sob adição vetorial.
Passo 4
Por último, vamos verificar se
é fechado sob multiplicação por escalar. Isso quer dizer que, se pegarmos qualquer vetor em
e multiplicarmos por um número real qualquer, o resultado também deve estar em
.
Vamos considerar um vetor em
:
E um escalar qualquer
. A multiplicação por escalar fica:
O primeiro componente permanece zero, então
também está em
. Assim,
é fechado sob multiplicação por escalar.
Resposta
Sim,
é um subespaço de
.