Quais dos seguintes conjuntos W abaixo são subespaços de R^3 ?
W=(x, y, z) in R^3: x=0;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se o conjunto W = (x, y, z) in R^3 : x = 0 é um subespaço de R^3 . A matéria aqui é álgebra linear, mais especificamente o estudo de subespaços vetoriais. Para resolver isso, vamos precisar lembrar quais são os critérios que definem um subespaço e aplicá-los ao conjunto W .

Passo 2

Primeiro, precisamos verificar se o vetor zero está em W . O vetor zero em R^3 é (0, 0, 0) . Vamos ver se ele satisfaz a condição x = 0 :
x = 0
Sim, o vetor zero tem x = 0 , então ele pertence a W .

Passo 3

Agora, vamos checar se W é fechado sob adição vetorial. Isso significa que, se pegarmos dois vetores quaisquer em W e os somarmos, o resultado também deve estar em W .
Vamos considerar dois vetores em W :
u = (0, y1, z1)
v = (0, y2, z2)
A soma desses vetores é:
u + v = (0 + 0, y1 + y2, z1 + z2) = (0, y1 + y2, z1 + z2)
Como o primeiro componente da soma é zero, u + v também está em W . Portanto, W é fechado sob adição vetorial.

Passo 4

Por último, vamos verificar se W é fechado sob multiplicação por escalar. Isso quer dizer que, se pegarmos qualquer vetor em W e multiplicarmos por um número real qualquer, o resultado também deve estar em W .
Vamos considerar um vetor em W :
u = (0, y, z)
E um escalar qualquer c in R . A multiplicação por escalar fica:
c cdot u = (c cdot 0, c cdot y, c cdot z) = (0, c y, c z)
O primeiro componente permanece zero, então c cdot u também está em W . Assim, W é fechado sob multiplicação por escalar.

Resposta

Sim, W é um subespaço de R^3 .

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