Seja E um espaço vetorial.
Um conjunto X subset E chama-se convexo quando
u, v in X Longrightarrow(1-t) u+t v ; t in[0,1] subset X
Um subconjunto C subset E é chamado de cone quando
forall u in C e forall t>0 Longrightarrow t u in C
Então prove que
Um cone C subset E é convexo Long<=ftrightarrow u+v in C, forall u, v in C é

Passo 1

Resumo do enunciado e material necessário
Temos um espaço vetorial E e um subconjunto Csubset E que satisfaz a condição de cone, ou seja
forall uin C, forall lambda>0Longrightarrow lambda uin C
Queremos mostrar que, sob essa condição,
C é convexo Long<=ftrightarrow u+vin C,forall u,vin C é
Lembrando que convexidade significa
u,vin CLongrightarrow (1-t)u + t v;;tin[0,1]subset C

Passo 2

Prova de “ Rightarrow”: se C é convexo (e já é cone) então u+vin C
Se C é convexo, então para quaisquer u,vin C temos em particular, tomando t=tfrac12,
12 u + 12 v in C
Como C é cone, podemos multiplicar esse vetor por lambda=2>0 e ainda ficar em C. Logo
u+v = 2l(tfrac12 u + tfrac12 vr)in C

Passo 3

Prova de “ Leftarrow”: se C é cone e fechado por soma então C é convexo
Se u,vin C e tin[0,1], então (1-t)uin C e t,vin C por ser C um cone.
Pela hipótese de fechamento em relação à soma, temos
(1-t)u + t v ;in; C
Como isso vale para todo tin[0,1], concluímos que o segmento entre u e v está em C, ou seja, C é convexo.

Resposta

Demonstrou-se que um cone Csubset E é convexo se, e somente se, u+vin C para todos u,vin C.

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