Seja
um espaço vetorial.
Um conjunto
chama-se convexo quando
Um subconjunto
é chamado de cone quando
Então prove que
Um conjunto
Passo 1
Resumo do enunciado e material necessário
Temos um espaço vetorial e um subconjunto
que satisfaz a condição de cone, ou seja
Temos um espaço vetorial
Queremos mostrar que, sob essa condição,
Lembrando que convexidade significa
Passo 2
Prova de “
”: se
é convexo (e já é cone) então
Se é convexo, então para quaisquer
temos em particular, tomando
,
Se
Como
é cone, podemos multiplicar esse vetor por
e ainda ficar em
. Logo
Passo 3
Prova de “
”: se
é cone e fechado por soma então
é convexo
Se e
, então
e
por ser
um cone.
Pela hipótese de fechamento em relação à soma, temos
Se
Pela hipótese de fechamento em relação à soma, temos
Como isso vale para todo
, concluímos que o segmento entre
e
está em
, ou seja,
é convexo.
Resposta
Demonstrou-se que um cone
é convexo se, e somente se,
para todos
.