Quais dos seguintes conjuntos são coberturas para \mathbb{R}^{3} ? Justifique suas respostas.
(e) \left\{(1,1,3)^{T},(0,2,1)^{T}\right\}
Passo 1
O enunciado pergunta se o conjunto \{(1,1,3)^T,\,(0,2,1)^T\} é uma cobertura para \mathbb{R}^{3}.
Informações dadas:
Dois vetores em \mathbb{R}^{3}: \mathbf{v}_1=(1,1,3)^T e \mathbf{v}_2=(0,2,1)^T.
A pergunta exige decidir se esses vetores formam uma cobertura de \mathbb{R}^{3} (ou seja, se seus combinações lineares geram todo \mathbb{R}^{3}) e justificar a resposta.
Passo 2
Definição e ideia principal (passo didático).
Uma família de vetores é uma cobertura (ou gera) \mathbb{R}^{3} quando qualquer vetor \mathbf{x}\in\mathbb{R}^{3} pode ser escrito como combinação linear desses vetores. Ou seja, devemos ter que, para todo \mathbf{x}\in\mathbb{R}^{3}, existam escalares a,b\in\mathbb{R} tais que
\mathbf{x}=a\,\mathbf{v}_1+b\,\mathbf{v}_2.
A noção de dimensão: o espaço \mathbb{R}^{3} tem dimensão 3. Para gerar todo um espaço de dimensão 3 são necessários pelo menos 3 vetores que sejam linearmente independentes. Com apenas 2 vetores (no máximo) pode-se gerar um subespaço de dimensão \le 2 (uma reta ou um plano), jamais todo \mathbb{R}^{3}. Esta é uma observação poderosa e simples que frequentemente resolve a questão sem muitas contas.
Passo 3
Aplicando a observação de dimensão ao caso concreto.
O conjunto dado tem exatamente 2 vetores. Como \dim(\mathbb{R}^{3})=3, não é possível que apenas dois vetores gerem todo \mathbb{R}^{3}. Portanto, à primeira vista, o conjunto não é cobertura de \mathbb{R}^{3}.
Mas para ficar didático e convincente, vamos também mostrar explicitamente qual subespaço esses dois vetores geram e produzir um contraexemplo concreto (um vetor que não pode ser escrito como combinação linear deles).
Passo 4
Verificação se os vetores são múltiplos (colineares) ou não.
Se um vetor fosse múltiplo do outro (isto é, \mathbf{v}_2=\lambda\mathbf{v}_1 para algum \lambda), a sua combinação geraria uma reta. Verificamos:
Para que \mathbf{v}_2=\lambda\mathbf{v}_1 precisaríamos de \lambda\cdot1=0, logo \lambda=0; mas então \lambda\cdot1 não seria 2. Portanto não existe \lambda que satisfaça todas as coordenadas. Conclusão: os vetores NÃO são múltiplos um do outro, então não são colineares. Assim seu espaço gerado tem dimensão 2 (é um plano que passa pela origem).
Passo 5
Escrever a combinação linear genérica e obter a forma do subespaço gerado.
Considere uma combinação qualquer:
Portanto o subespaço gerado por \{\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2\} é o conjunto de vetores da forma \bigl(a,\;a+2b,\;3a+b\bigr)^T com a,b\in\mathbb{R}. Esse é claramente um plano (dimensão 2), não todo \mathbb{R}^{3}.
Passo 6
Determinar a condição necessária para que um vetor arbitrário pertença ao span.
Se um vetor arbitrário \mathbf{x}=(x,y,z)^T\) pertencer ao span, então existem \(a,b\) tais que
\[\begin{cases} a = x,\\[4pt] a+2b = y,\\[4pt] 3a+b = z. \end{cases}
Substituindo a=x\] na segunda equação obtemos
\[2b = y - x \quad\Rightarrow\quad b = \dfrac{y-x}{2}.\]
Substituindo \(a=x e esse b na terceira equação:
z = 3x + b = 3x + \dfrac{y-x}{2} = \dfrac{6x + y - x}{2} = \dfrac{5x + y}{2}.
Logo uma condição necessária (e suficiente) para (x,y,z)^T estar no span é
z = \dfrac{5x + y}{2}.
Nem todo vetor em \mathbb{R}^{3} satisfaz essa relação; portanto o span não é todo \mathbb{R}^{3}.]
Passo 7
Exemplo concreto de vetor que não está no span (contraexemplo).
Escolha, por exemplo, \mathbf{u}=(0,0,1)^T. Para \mathbf{u} a condição seria
Isto é falso, então \mathbf{u} não pode ser escrito como combinação linear de \mathbf{v}_1 e \mathbf{v}_2. Portanto esses dois vetores não geram \mathbf{u} e, consequentemente, não geram todo \mathbb{R}^{3}.
Passo 8
Conclusão final e incentivo.
Pelo argumento da dimensão (precisaria de pelo menos 3 vetores linearmente independentes) e pela demonstração explícita de que o span é um plano dado por \{(a,\;a+2b,\;3a+b)^T:\,a,b\in\mathbb{R}\} e pelo contraexemplo, concluímos que o conjunto não é cobertura de \mathbb{R}^{3}. Vai dar certo nos estudos — você identificou a chave: dimensão e número de vetores!
Resposta
Não, \{(1,1,3)^T,\,(0,2,1)^T\} não é cobertura de \mathbb{R}^{3}.