Os seguintes dados resultaram de experiências com um filtro-prensa de laboratório com 4 quadros
in.:
Pressão de filtração:
Temperatura:
Tempo de filtração:
Volume de filtrado:
Deseja-se filtrar a mesma suspensão, à mesma pressão, em um filtro industrial, para obter-se
de filtrado em 6 horas de efetiva filtraçào.
Determine a espessura dos quadros na unidade industrial.
Pressão de filtração:
Temperatura:
Tempo de filtração:
Volume de filtrado:
Deseja-se filtrar a mesma suspensão, à mesma pressão, em um filtro industrial, para obter-se
Determine a espessura dos quadros na unidade industrial.
Passo 1
Beleza, o problema é o seguinte: num filtro-prensa de bancada (4 quadros de 6 × 6 × 0,5 in) nós filtramos 168 L em 55 min a 100 psi. Agora queremos, à mesma pressão, na escala industrial, produzir 2 000 ft³ de filtrado em 6 h. O que vamos usar aqui é a lei de escala da filtração em batelada (filtração de “torta” incompressível), que diz que
t = K·(V/A)²
onde K = μ·α·c/(2·ΔP) é constante (a mesma nas duas escalas), V o volume filtrado, A a área de filtração e t o tempo. Nosso passo a passo:
Passo 2
Determinar a área necessária na escala industrial.
Da lei de escala temos para bancada (índice “b”) e industrial (índice “i”):
t_b = K·(V_b/A_b)² e t_i = K·(V_i/A_i)²
Como K é igual nos dois casos, basta dividir:
t_i / t_b = (V_i/A_i)² ÷ (V_b/A_b)²
⇔ (A_i/A_b)² = (V_i/V_b)²·(t_b/t_i)
⇔ A_i = A_b·(V_i/V_b)·√(t_b/t_i)
Da lei de escala temos para bancada (índice “b”) e industrial (índice “i”):
t_b = K·(V_b/A_b)² e t_i = K·(V_i/A_i)²
Como K é igual nos dois casos, basta dividir:
t_i / t_b = (V_i/A_i)² ÷ (V_b/A_b)²
⇔ (A_i/A_b)² = (V_i/V_b)²·(t_b/t_i)
⇔ A_i = A_b·(V_i/V_b)·√(t_b/t_i)
Passo 3
Calcular A_b e as grandezas:
– V_b = 168 L = 168·61,0237 in³ = 10 255 in³
– t_b = 55 min
– V_i = 2 000 ft³ = 2 000·1 728 in³ = 3 456 000 in³
– t_i = 6 h = 360 min
– A_b = 4 quadros·(6 in×6 in) = 4·36 = 144 in²
– V_b = 168 L = 168·61,0237 in³ = 10 255 in³
– t_b = 55 min
– V_i = 2 000 ft³ = 2 000·1 728 in³ = 3 456 000 in³
– t_i = 6 h = 360 min
– A_b = 4 quadros·(6 in×6 in) = 4·36 = 144 in²
Agora:
A_i = 144·(3 456 000/10 255)·√(55/360)
≃ 144·336,9·0,3909
≃ 18 965 in²
A_i = 144·(3 456 000/10 255)·√(55/360)
≃ 144·336,9·0,3909
≃ 18 965 in²
Passo 4
O enunciado pede a espessura dos quadros, isto é, a profundidade (third dimension) de cada quadro na escala industrial. Vamos assumir que continuamos com 4 quadros e que o lado “vertical” de cada quadro segue sendo 6 in. Então, para atingir área total A_i usando 4 quadros de 6 in de “altura” e e_i de “profundidade” (espessura), vale:
A_i = nº de quadros × altura × profundidade
⇔ 18 965 in² = 4 × 6 in × e_i
⇔ e_i = 18 965/(4·6) ≃ 790,2 in
A_i = nº de quadros × altura × profundidade
⇔ 18 965 in² = 4 × 6 in × e_i
⇔ e_i = 18 965/(4·6) ≃ 790,2 in
Convertendo para pés:
e_i ≃ 790,2 in ÷ 12 ≃ 65,85 ft
e_i ≃ 790,2 in ÷ 12 ≃ 65,85 ft
Resposta
A espessura de cada quadro na unidade industrial deve ser aproximadamente 790 in (cerca de 66 ft).