As seguintes derivadas devem ser feitas pela definição
y=\tan x

Passo 1

O enunciado pede que se calcule, usando a definição de derivada, a derivada da função y=\tan x.\n
Informações dadas:
y=\tan x
A tarefa é encontrar y'=\dfrac{d}{dx}\tan x usando a definição de derivada (limite do quociente incremental). Não há outras informações adicionais.

Passo 2

Escrevemos a definição de derivada pelo incremento h:
y'=\lim_{h\to0}\frac{\tan(x+h)-\tan x}{h}.
Esse é o quociente de diferença que vamos manipular algebricamente e, em seguida, tomar o limite quando h\to0.

Passo 3

Precisamos simplificar o numerador \tan(x+h)-\tan x. Para isso usamos a fórmula da tangente da soma:
\tan(a+b)=\frac{\tan a+\tan b}{1-\tan a\,\tan b}.
Vou mostrar rapidamente por que essa fórmula vale: escrevemos \tan como \tan t=\dfrac{\sin t}{\cos t} e usamos as fórmulas de seno e cosseno da soma:
\sin(a+b)=\sin a\cos b+\cos a\sin b,
\cos(a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b.
Dividindo \sin(a+b) por \cos(a+b) e fatorando \cos a\cos b no numerador e denominador obtemos
\tan(a+b)=\frac{\dfrac{\sin a}{\cos a}+\dfrac{\sin b}{\cos b}}{1-\dfrac{\sin a}{\cos a}\cdot\dfrac{\sin b}{\cos b}} =\frac{\tan a+\tan b}{1-\tan a\,\tan b},
o que confirma a identidade.

Passo 4

Aplicando a identidade com a=x e b=h:
\tan(x+h)=\frac{\tan x+\tan h}{1-\tan x\,\tan h}.
Substituímos na diferença:
\tan(x+h)-\tan x =\frac{\tan x+\tan h}{1-\tan x\,\tan h}-\tan x.
Colocando em denominador comum 1-\tan x\,\tan h:
\tan(x+h)-\tan x =\frac{\tan x+\tan h-\tan x(1-\tan x\,\tan h)}{1-\tan x\,\tan h}.
Desenvolvendo o numerador:
\tan x+\tan h-\tan x+\tan^2 x\,\tan h =\tan h\left(1+\tan^2 x\right).
Logo
\tan(x+h)-\tan x=\frac{\tan h\left(1+\tan^2 x\right)}{1-\tan x\,\tan h}.

Passo 5

Voltando ao quociente diferença e substituindo o resultado:
\frac{\tan(x+h)-\tan x}{h} =\frac{1+\tan^2 x}{1-\tan x\,\tan h}\cdot\frac{\tan h}{h}.
Agora vamos analisar os limites dos fatores quando h\to0:
  1. \displaystyle \lim_{h\to0}\frac{\tan h}{h}=1. Explico por que: \tan h=\dfrac{\sin h}{\cos h}, então
\frac{\tan h}{h}=\frac{\sin h}{h}\cdot\frac{1}{\cos h}.
Sabemos (feito em cálculo básico) que \displaystyle \lim_{h\to0}\frac{\sin h}{h}=1 e \displaystyle \lim_{h\to0}\cos h=1, então multiplicando limites obtemos \displaystyle \lim_{h\to0}\frac{\tan h}{h}=1.
2) \displaystyle \lim_{h\to0}\tan h=0, porque \tan h é contínua e \tan 0=0.
3) Com isso \displaystyle \lim_{h\to0}\left(1-\tan x\,\tan h\right)=1-\tan x\cdot 0=1. Aqui usamos que \tan x é apenas uma constante em relação a h.

Passo 6

Tomando limite em
\frac{\tan(x+h)-\tan x}{h} =\frac{1+\tan^2 x}{1-\tan x\,\tan h}\cdot\frac{\tan h}{h},
usamos os limites dos fatores encontrados:
y'=\lim_{h\to0}\frac{\tan(x+h)-\tan x}{h} =(1+\tan^2 x)\cdot 1.
Portanto
y'=1+\tan^2 x.

Passo 7

Finalmente, usamos a identidade trigonométrica clássica que liga tangente e secante:
1+\tan^2 x=\operatorname{sec}^2 x,
porque \tan^2 x=\dfrac{\sin^2 x}{\cos^2 x} e assim
1+\tan^2 x=\frac{\cos^2 x+\sin^2 x}{\cos^2 x}=\frac{1}{\cos^2 x}=\operatorname{sec}^2 x.
Lembrando que \operatorname{sec} x=\dfrac{1}{\cos x}.

Resposta

\operatorname{sec}^2 x

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