As seguintes derivadas devem ser feitas pela definição
Passo 1
O enunciado pede que se calcule, usando a definição de derivada, a derivada da função
.\n
Informações dadas:
Informações dadas:
A tarefa é encontrar
usando a definição de derivada (limite do quociente incremental). Não há outras informações adicionais.
Passo 2
Escrevemos a definição de derivada pelo incremento
:
Esse é o quociente de diferença que vamos manipular algebricamente e, em seguida, tomar o limite quando
.
Passo 3
Precisamos simplificar o numerador
. Para isso usamos a fórmula da tangente da soma:
Vou mostrar rapidamente por que essa fórmula vale: escrevemos
como
e usamos as fórmulas de seno e cosseno da soma:
Dividindo
por
e fatorando
no numerador e denominador obtemos
o que confirma a identidade.
Passo 4
Aplicando a identidade com
e
:
Substituímos na diferença:
Colocando em denominador comum
:
Desenvolvendo o numerador:
Logo
Passo 5
Voltando ao quociente diferença e substituindo o resultado:
Agora vamos analisar os limites dos fatores quando
:
-
. Explico por que: , então
Sabemos (feito em cálculo básico) que
e
, então multiplicando limites obtemos
.
2) , porque
é contínua e
.
3) Com isso . Aqui usamos que
é apenas uma constante em relação a
.
2)
3) Com isso
Passo 6
Tomando limite em
usamos os limites dos fatores encontrados:
Portanto
Passo 7
Finalmente, usamos a identidade trigonométrica clássica que liga tangente e secante:
porque
e assim
Lembrando que
.