Usando transformada de Laplace, resolva a equação diferencial para determinar a função y(t).
y^prime+y=de<a(t-2)
y(0)=3

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
y'(t) + y(t) = de<a(t-2),
com condição inicial y(0)=3, usando transformada de Laplace.
O conteúdo principal envolve:
– Propriedade da transformada de y',
– Transformada da função delta deslocada,
– Teorema do deslocamento em s para inverter a transformada com fator e^-2s.

Passo 2

Aplicamos a transformada de Laplace em ambos os lados da equação. Pela linearidade e pelas fórmulas
Ly'(t) = sY(s) - y(0), Ly(t) = Y(s),
e
Lde<a(t-2) = e^-2s,
obtemos
sY(s) - 3 + Y(s) = e^-2s

Passo 3

Reagrupando os termos em Y(s), temos
Y(s),(s+1) = 3 + e^-2s,
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Y(s) = 3s+1 ;+;e^-2ss+1

Passo 4

Invertemos cada parcela separadamente. Sabendo que
L^-1l3s+1r = 3e^-t
e, pelo teorema do deslocamento no domínio do tempo,
L^-1le^-2ss+1r = e^-(t-2),u(t-2),
onde u(t-2) é a função de Heaviside deslocada.

Resposta

y(t) = 3e^-t + e^-(t-2),u(t-2)

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