Para as seguintes equações autônomas, desenhe o campo de direções e esboce algumas soluções: Determine também as soluções de equilibrio e classifique estas soluções como assintóticamente estáveis, instáveis ou semiestáveis.
.
Passo 1
O enunciado apresenta a equação diferencial autônoma
e pede (i) o campo de direções e esboços de algumas soluções, (ii) os pontos de equilíbrio e (iii) a classificação de cada ponto como assintoticamente estável, instável ou semiestável. Vamos usar análise de equilíbrio, sinal de
e separação de variáveis para resolver.
Passo 2
Para encontrar os pontos de equilíbrio, impomos
Logo
são as soluções constantes.
Passo 3
Para classificar a estabilidade, calculamos a derivada de
:
Em
:
equilíbrio estável (assintoticamente estável).
Em :
equilíbrio instável.
Em
Passo 4
Analisando o sinal de
nos intervalos de
:
- Para
, tem-se , as soluções crescem. - Para
, tem-se , as soluções decrescem.
No eixofixo, isso gera retas de inclinação positiva no interior de e negativa acima de ou abaixo de .
Passo 5
Para obter a solução geral, separamos variáveis:
Fazendo frações parciais em
, integra-se:
Então
Passo 6
Além das soluções constantes
, a família
interpolará entre
(quando
) e
(quando
).
- Se
, então quando e quando . - Se
, a solução decresce até aproximar-se de para . - Se
, a solução cresce até aproximar-se de para .
Resposta
Os pontos de equilíbrio são