Para as seguintes equações autônomas, desenhe o campo de direções e esboce algumas soluções: Determine também as soluções de equilibrio e classifique estas soluções como assintóticamente estáveis, instáveis ou semiestáveis.
y^{\prime}=1-y^{2}.

Passo 1

O enunciado apresenta a equação diferencial autônoma
y' = 1 - y^2
e pede (i) o campo de direções e esboços de algumas soluções, (ii) os pontos de equilíbrio e (iii) a classificação de cada ponto como assintoticamente estável, instável ou semiestável. Vamos usar análise de equilíbrio, sinal de y' e separação de variáveis para resolver.

Passo 2

Para encontrar os pontos de equilíbrio, impomos
y' = 0 \quad\Longrightarrow\quad 1 - y^2 = 0.
Logo
y^2 = 1 \quad\Longrightarrow\quad y = \pm 1
são as soluções constantes.

Passo 3

Para classificar a estabilidade, calculamos a derivada de f(y)=1-y^2:
f'(y) = \frac{d}{dy}(1-y^2) = -2y.
Em y=1: f'(1) = -2<0 \Rightarrow equilíbrio estável (assintoticamente estável).
Em y=-1: f'(-1) = 2>0 \Rightarrow equilíbrio instável.

Passo 4

Analisando o sinal de y'=1-y^2 nos intervalos de y:
  • Para -1<y<1, tem-se y^2<1 \Rightarrow y'>0, as soluções crescem.
  • Para |y|>1, tem-se y^2>1 \Rightarrow y'<0, as soluções decrescem.
    No eixo t fixo, isso gera retas de inclinação positiva no interior de (-1,1) e negativa acima de 1 ou abaixo de -1.

Passo 5

Para obter a solução geral, separamos variáveis:
\frac{dy}{1-y^2} = dt.
Fazendo frações parciais em \frac{1}{1-y^2}=\frac12\left(\frac{1}{1-y}+\frac{1}{1+y}\right), integra-se:
\int \frac{dy}{1-y^2} = \frac12\int\!\Bigl(\frac{1}{1-y} + \frac{1}{1+y}\Bigr)dy = \operatorname{arctanh}(y) + C.
Então
\operatorname{arctanh}(y) = t + C \quad\Longrightarrow\quad y(t) = \operatorname{tanh}\bigl(t + C\bigr).

Passo 6

Além das soluções constantes y(t)\equiv\pm1, a família
y(t) = \operatorname{tanh}\bigl(t + C\bigr)
interpolará entre -1 (quando t+C\to -\infty) e +1 (quando t+C\to +\infty).
  • Se y(0)\in(-1,1), então y(t)\to1 quando t\to+\infty e y(t)\to-1 quando t\to-\infty.
  • Se y(0)>1, a solução decresce até aproximar-se de 1 para t\to+\infty.
  • Se y(0)<-1, a solução cresce até aproximar-se de -1 para t\to+\infty.

Resposta

Os pontos de equilíbrio são
y^* = 1\quad\text{(assintoticamente estável)},\qquad y^* = -1\quad\text{(instável)}.áá

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