Utilize um software* computacional para graficar o campo de direções das equações diferenciais a seguir, encontre a solução geral em cada caso e grafique também algumas curvas integrais sobre o campo:
*Pode usar o Desmos para graficar os Campos de direções online no link aqui
y^{\prime}(x)=2 \cos x-y

Passo 1

O enunciado pede para trabalhar com o campo de direções da EDO
y'(x)=2\cos x - y
e, em seguida, encontrar a solução geral usando teoria de equações lineares de primeira ordem e, por fim, sobrepor algumas curvas integrais (soluções particulares) a esse campo.

Passo 2

Reescrevemos a EDO na forma padrão de uma linear de coeficientes dependentes só de x:
y' + y = 2\cos x.
Aqui o termo y com coeficiente 1 indica que podemos usar o fator integrante \mu(x)=e^{\int1\,dx}=e^x.

Passo 3

Multiplicando ambos os lados por \mu(x)=e^x obtemos
\frac{d}{dx}\bigl(e^x y\bigr)=2e^x\cos x.
Agora integramos em x:
\int \frac{d}{dx}\bigl(e^x y\bigr)\,dx = \int 2e^x\cos x\,dx.
Para a integral à direita, usamos integração por partes (duas vezes) ou tabela conhecida, resultando em
\int 2e^x\cos x\,dx = e^x(\sin x + \cos x) + C.
Portanto
e^x y = e^x(\sin x + \cos x) + C.

Passo 4

Isolando y, a solução geral da EDO fica
y(x) = \sin x + \cos x + C\,e^{-x},
onde C é a constante de integração.

Passo 5

Para construir o campo de direções no Desmos (ou outro software), defina a derivada direcional em cada ponto (x,y) como
\text{slope}(x,y) = 2\cos x - y.
Em Desmos, use a ferramenta de “slope field” apontando vetores (1,\;2\cos x - y) numa grade de (x,y). Assim você visualiza a inclinação de cada reta tangente.

Passo 6

Sobre esse campo de direções, trace várias curvas integrais usando a expressão da solução geral. Por exemplo, em Desmos plote
y(x) = \sin x + \cos x + C\,e^{-x}
para diferentes valores de C (como C=-2,-1,0,1,2). Cada uma dessas curvas tangencia o campo de direções em todos os pontos, ilustrando famílias de soluções.

Resposta

A solução geral da EDO é
y(x) = \sin x + \cos x + C\,e^{-x}.

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