Utilize um software* computacional para graficar o campo de direções das equações diferenciais a seguir, encontre a solução geral em cada caso e grafique também algumas curvas integrais sobre o campo:
*Pode usar o Desmos para graficar os Campos de direções online no link aqui
*Pode usar o Desmos para graficar os Campos de direções online no link aqui
Passo 1
O enunciado pede para trabalhar com o campo de direções da EDO
e, em seguida, encontrar a solução geral usando teoria de equações lineares de primeira ordem e, por fim, sobrepor algumas curvas integrais (soluções particulares) a esse campo.
Passo 2
Reescrevemos a EDO na forma padrão de uma linear de coeficientes dependentes só de
:
Aqui o termo
com coeficiente 1 indica que podemos usar o fator integrante
.
Passo 3
Multiplicando ambos os lados por
obtemos
Agora integramos em
:
Para a integral à direita, usamos integração por partes (duas vezes) ou tabela conhecida, resultando em
Portanto
Passo 4
Isolando
, a solução geral da EDO fica
onde
é a constante de integração.
Passo 5
Para construir o campo de direções no Desmos (ou outro software), defina a derivada direcional em cada ponto
como
Em Desmos, use a ferramenta de “slope field” apontando vetores
numa grade de
. Assim você visualiza a inclinação de cada reta tangente.
Passo 6
Sobre esse campo de direções, trace várias curvas integrais usando a expressão da solução geral. Por exemplo, em Desmos plote
para diferentes valores de
(como
). Cada uma dessas curvas tangencia o campo de direções em todos os pontos, ilustrando famílias de soluções.
Resposta
A solução geral da EDO é