Verifique que g(x)=tanh x é ímpar.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa verificar se a função $ g(x) = \tanh x $ é ímpar. Isso está relacionado ao tema de funções pares e ímpares. Para isso, vamos precisar entender a definição de função ímpar e como aplicar essa definição à função hiperbólica tangente.

Passo 2

Primeiro, o que é uma função ímpar? Uma função $ f(x) $ é considerada ímpar se, ao substituir $ x $ por $ -x $, a função resulta em $ -f(x) $. Em outras palavras, $ f(-x) = -f(x) $. Isso significa que o gráfico da função é simétrico em relação à origem.

Passo 3

Agora, vamos aplicar essa definição à nossa função $ g(x) = \tanh x $. Precisamos calcular $ g(-x) $ e verificar se isso é igual a $ -g(x) $.

Passo 4

Vamos calcular $ g(-x) $:
g(-x)
Sabemos que a função hiperbólica tangente é definida por:
g(-x) = tanh(-x)
Então, substituindo $ x $ por $ -x $:
tanh x = e^x - e^-xe^x + e^-x

Passo 5

Com isso, vimos que:
g(-x) = tanh(-x) = -tanh x = -g(x)
Isso confirma que $ g(-x) = -g(x) $, que é exatamente a definição de uma função ímpar.

Resposta

Portanto, a função $ g(x) = \tanh x $ é ímpar.

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