Nos seguintes exercícios, dada a solução y1(x) da equação diferencial, encontre a um conjunto fundamental de soluções
x y^prime prime-(2 x+2) y^prime+(x+2) y=0, y1(x)=e^x

Passo 1

A equação diferencial dada é x y''-(2x+2)y'+(x+2)y=0 e já conhecemos uma solução y1(x)=e^x. O conteúdo aqui é EDO linear de segunda ordem e vamos usar o método de redução de ordem para encontrar uma segunda solução y2(x) que, junto com y1, forme um conjunto fundamental.

Passo 2

Para aplicar redução de ordem, colocamos a equação na forma padrão y''+P(x)y'+Q(x)y=0. Dividindo por x (supondo xneq0), obtemos:
y''-2x+2xy'+x+2xy=0

Passo 3

Identificamos os coeficientes
P(x)=-2-2x,
Q(x)=1+2x
Pela fórmula de redução de ordem, a segunda solução é
y2=y1(x)integral e^-integral P(x),dxy1(x)^2,dx

Passo 4

Calculamos primeiro
integral P(x),dx=integrall(-2-tfrac2xr)dx=-2x-2ln|x|,
e portanto
e^-integral P(x)dx=e^2x+2ln|x|=e^2xx^2
Substituindo em y2:
y2=e^xintegral e^2xx^2(e^x)^2,dx=e^xintegral x^2,dx=e^xx^33

Passo 5

Descartando o fator constante 1/3, escolhemos
y2(x)=x^3e^x
que é linearmente independente de y1. Assim, um conjunto fundamental de soluções é formado por e^x e x^3e^x.

Resposta

Um conjunto fundamental de soluções é e^x,,x^3e^x.

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