Para as seguintes funções f, encontre o discriminante de f(x)=0 e determine se as razões são reais e diferentes, reais e iguais, ou não existem. Esboce o gráfico de f(x) sem desenhar mais de quatro pontos.
f(x)=x^2-2 a x+a^2

Passo 1

O enunciado pede que, para a função f(x)=x^2-2ax+a^2, a gente encontre o discriminante da equação f(x)=0, classifique as raízes (reais distintas, reais iguais ou não existem) e por fim esboce o gráfico usando no máximo quatro pontos. O conteúdo aqui é equação quadrática, discriminante e esboço de parábola.

Passo 2

Para qualquer equação quadrática Ax^2+Bx+C=0, o discriminante é dado por De. No nosso caso, comparando com Ax^2+Bx+C, temos A=1, B=-2a e C=a^2.
Substituindo em De a gente faz:
De

Passo 3

Como De, a equação só tem uma raiz real dupla. Para vê-la, usamos
x = -BpmraizDe

Passo 4

Para esboçar o gráfico perceba que o coeficiente de x^2 é positivo, logo é uma parábola côncava para cima, com vértice em (xv,yv)=(a,0). Podemos usar até quatro pontos, por exemplo:
(a,0) (vértice e ponto de tangência ao eixo x);
(0,a^2) interceptação com o eixo y;
(2a,a^2) ponto simétrico de (0,a^2) em relação a x=a;
(a+1,1), pois f(a+1)=1.
Descrevendo o esboço: é uma parábola que toca o eixo x em (a,0), passa por (0,a^2), (2a,a^2) e (a+1,1), crescendo para ambos os lados e simétrica em torno de x=a.

Resposta

Discriminante De. As raízes são reais e iguais (dupla em x=a). O gráfico é uma parábola côncava para cima com vértice em (a,0), interceptando o eixo y em (0,a^2) e simétrica em torno da reta x=a.

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